Questão 7954

UFMG 2005

Matemática

(UFMG - 2005) Sejam $p(x) = 4x^{3}+bx^{2}+cx+d$ e $q(x)=mx^{2}+nx-3$ polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que $p(x)=(2x-6)cdot;q(x)+x-10$ . Considerando-se essas informações, é INCORRETO afirmar que

se 10 é raiz de q( x ), então 10 também é raiz de p(x).

p(3) = - 7.

d = 18.

m = 2.

Gabarito: d = 18.

Resolução:

Para testar a Letra A, podemos fazer uso de cara da equação $p(x)=(2x-6)q(x)+x-10$ , uma vez que se 10 é raíz de $q(x)$ , então $q(10)=0$

$p(x)=(2x-6)q(x)+x-10$

$p(10)=(2cdot 10-6)q(10)+10-10$

$p(10)=0+0=0$

10 também é raiz de $p(x)$ . Alternativa A é correta.

Para as outras alternativas, é necessário fazer a seguinte conta:

$p(x)=(2x-6)q(x)+x-10$

$4x^3+bx^2+cx+d=(2x-6)(mx^2+nx-3)+x-10$

$4x^3+bx^2+cx+d=2mx^3+2nx^2-6x-6mx^2-6nx+18+x-10$

$4x^3+bx^2+cx+d=2mx^3+x^2(2n-6m)+x(-6n-5)+8$

$left{egin{matrix} 4=2m\ b=2n-6m \ c=-6n-5 \ d=8 end{matrix} ight.$

1) $m=2$ , alternativa D é correta.

2) $d=8$ , alternativa C é incorreta.

3) $p(x)=4x^3+bx^2+cx+d$

$p(3)=4cdot 27+9b+3c+d$

$p(3)=108+9(2n-12)+3(-6n-5)+8$

$p(3)=108+18n-108-18n-15+8$

$p(3)=-7$ , alternativa B é correta.

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