Questão 7913

UECE 2015

Matemática

(Uece 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual as retas representadas pelas equações e são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo y. A equação que representa esta circunferência é:

Gabarito:

Resolução:

Como as retas são tangentes à circunferência, podemos dizer que a distância entre o centro da circunferência e o ponto onde a reta a toca é igual ao raio. Com isso, podemos encontrar a equação da circunferência.

Temos então:

$frac{|a_1cdot x_C+b_1cdot y_C+c_1|}{sqrt{a_1^2+b_1^2}}=frac{|a_2cdot x_C+b_2cdot y_C+c_2|}{sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Temos também a informação que o centro da está localizado sobre o eixo y, sendo assim x=0 no centro. Subsituindo na equação:

$\frac{|3cdot 0-4cdot y_C+4|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}=frac{|3cdot 0-4cdot y_C+20|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}\\\ frac{|4-4cdot y_C|}{sqrt{9+16}}=frac{|20-4cdot y_C|}{sqrt{9+16}}$

Como os denominadores são iguais, podemos anulá-los e trabalhar somente com o numerador:

$\|4-4cdot y_C|=|20-4cdot y_C| ightarrow 4-4cdot y_C=4cdot y_C-20\ 8cdot y_C=24 ightarrow y_C=frac{24}{8}=3$

Esse é o ponto do centro. Agora vamos dar valor ao raio:

$frac{|3cdot 0-4cdot 3+4|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}=frac{|-12+4}{sqrt{9+16}}=frac{|-8|}{sqrt{25}}=frac{8}{5}$

Esse é o raio. Agora temos todos os dados necessários para montar a equação:

$\(x-0)^2+(y-3)^2=(frac{8}{5})^2\\ x^2+y^2-6y+9=frac{64}{25}\\ 25x^2+25y^2-150y+225=64\ 25x^2+25y^2-150y+161=0$

Letra B

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