Questão 7542

UECE 2015

Matemática

(Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x + y - 1 = 0 e x + y + 1 = 0 com a circunferência x² + y² = 25, calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado, é:

A

16(u.c)²

B

14(u.c)²

C

18(u.c)²

D

20(u.c)²

Gabarito:

14(u.c)²

Resolução:

1) A circunferência ( $x^2+y^2=25$ ) irá encontrar com a reta ( $x + y - 1 = 0$ ) nos pontos:

1.1) Ordenando:

$y = -x+1$

2) Substituindo:

$x^2+(-x+1)^2=25$

$2x^2-2x-24=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-2 ight)pm sqrt{left(-2 ight)^2-4cdot :2left(-24 ight)}}{2cdot :2}$

$x_1=4,:x_2=-3$

$y_1=-3,:y_2=4$

2) A circunferência ( $x^2+y^2=25$ ) irá encontrar com a reta ( $x + y + 1 = 0$ ) nos pontos:

1.1) Ordenando:

$y = -x-1$

2) Substituindo:

$x^2+(-x-1)^2=25$

$2x^2+2x-24=0$

$x_{1,:2}=frac{-2pm sqrt{2^2-4cdot :2left(-24 ight)}}{2cdot :2}$

$x_1=3,:x_2=-4$

$y_1=-4,:y_2=3$

3) Analisando o problema:

4) Os pontos do quadrilátero são $(4, -3), ; (-3, 4), ; (3, -4), ; (-3, 4)$

5) Calculando a área dos triângulos DCB e DBA:

5.1)

A área do DBA é igual a DCB.

5.2)

Área de um triângulo: $|frac{1}{2} cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 1\3 & -4 & 1\ -3 & 4 & 1 end{vmatrix}|$

6) Área do paralelogramo:

$2 cdot frac{1}{2} cdot |egin{vmatrix} 4 & -3 & 1\3 & -4 & 1\ -3 & 4 & 1 end{vmatrix}|$

$|4cdot egin{vmatrix}-4&1\ 4&1end{vmatrix}-left(-3 ight)egin{vmatrix}3&1\ -3&1end{vmatrix}+1cdot egin{vmatrix}3&-4\ -3&4end{vmatrix}|$

$|4left(-8 ight)-left(-3 ight)cdot :6+1cdot :0|$

$|-14|=14$

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