Questão 6943

UECE 2010

Matemática

(Uece 2010) O número de soluções da equação 3sen²x - 3 |senx| + cos²x = 0 que estão no intervalo [0, 2π] é

Gabarito:

Resolução:

Vamos dividir em dois casos:

i) $sen(x)geq 0Rightarrow |sen(x)|=sen(x)$

$2sen^2(x)-3sen(x)+1=0Rightarrow sen(x)=frac{3pm sqrt{9-4cdot2cdot1}}{2cdot2}=frac{3pm1}{4}Rightarrow \\sen(x)=frac{1}{2};;;ou;;;sen(x)=1Rightarrow x=frac{pi}{6};;ou;;x=frac{5pi}{6};;ou;;x=frac{pi}{2}$

ii) $sen(x)<0Rightarrow |sen(x)|=-sen(x)$

$2sen^2(x)+3sen(x)+1=0Rightarrow sen(x)=frac{-3pm sqrt{9-4cdot2cdot1}}{2cdot2}=frac{-3pm1}{4}Rightarrow \\sen(x)=-frac{1}{2};;;ou;;;sen(x)=-1Rightarrow x=frac{7pi}{6};;ou;;x=frac{11pi}{6};;ou;;x=frac{3pi}{2}$

Logo, há 6 soluções no intervalo $[0,2pi]$

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