Questão 8003

MACKENZIE 2012

Matemática

(MACKENZIE - 2012) As raízes da equação x³ – 9x² + 23x – 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é

500

480

260

400

350

Gabarito:

400

Resolução:

1) $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$

Por tentativa, podemos perceber que 1 é raiz da equação. Logo,

$\ x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = left(x-1 ight)frac{x^3-9x^2+23x-15}{x-1} = left(x-1 ight) cdot (x^2-8x+15) = 0$

2) Fatorando a expressão:

$left(x-1 ight) cdot [left(x^2-3x ight)+left(-5x+15 ight)] = 0$

$left(x-1 ight) cdot [left(x-3 ight)left(x-5 ight)] = 0$

$left(x-1 ight)left(x-3 ight)left(x-5 ight)=0$

3) Logo, as raízes são:

$x_1=1,:x_2=3,:x_3=5$

4) Logo, os três primeiros termos formam uma progressão aritmética:

$a_1=1 ; e ; r=2$

5) Aplicando na fórmula da soma de uma PA:

$S = frac{[a_1+a_1+(n-1) cdot r] cdot n}{2}$

Resposta:

$S = frac{[1+1+(20-1) cdot 2] cdot 20}{2} = 400$

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