Questão 7556

MACKENZIE 2012

Matemática

(Mackenzie 2012) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que x² + y² 2x e x²+ y²2y. Fazendo π = 3, a área dessa região é:

0,5

1,5

2,5

Gabarito:

0,5

Resolução:

1) Desenvolvendo $x^2+y^2le :2x$ :

$x^2+y^2-2xle :0$

$left(x^2-2x ight)+y^2le :0$

$left(x^2-2x+1 ight)+y^2le :1$

$left(x-1 ight)^2+y^2le :1$

Logo, temos um círculo com centro em (1,0) e raio 1.

2) Desenvolvendo $x^2+y^2le :2y$

$x^2+y^2-2yle :0$

$x^2+left(y^2-2y+1 ight)le :1$

$x^2+left(y-1 ight)^2le :1$

Logo, temos um círculo com centro em (0,1) e raio 1.

3) Compreendendo o problema:

4) Para encontrar essa área podemos considerar o seguinte setor circular:

PS: Repare que $S_1=S_2$ .

5) Calculando $S_1$ :

$S_1=frac{pi cdot 1^2}{4}-frac{1 cdot 1}{2}=frac{pi -2}{4}=frac{3 -2}{4}=0,25$

6) Como a área procurada é $S_1+S_2$ , a resposta é $S_1+S_2=2 cdot S_1=0,5$

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