Questão 3749

MACKENZIE 2001

Física

(Mackenzie 2001) Uma placa de aço (coeficiente de dilatação linear=1,0.10^-5 ºC^-1) tem o formato de um quadrado de 1,5 m de lado e encontra-se a uma temperatura de 10 ºC. Nessa temperatura, retira-se um pedaço da placa com formato de um disco de 20 cm de diâmetro e aquece-se, em seguida, apenas a placa furada, até a temperatura de 510 ºC. Recolocando-se o disco, mantido a 10 ºC, no "furo" da placa a 510 ºC, verifica-se uma folga, correspondente a uma coroa circular de área:

1,57 cm²

15,7 cm²

6,3 cm²

12,6 cm²

3,14 cm²

Gabarito:

3,14 cm²

Resolução:

A chave para resolver a questão é notar que, mesmo após retirarmos um pedaço da placa, o furo crescerá normalmente (como se ali ainda tivesse o mesmo material da placa) ao aumentarmos a temperatura.

Então, a folga vai surgir justamente deste fato.

Para sabermos qual a área da folga, podemos diretamente calcular quanto o disco deveria dilatar.

A área inicial do disco é dada por:

$A_0 = frac{pi D_0^2}{4}$ .

A dilatação do diâmetro pode ser equacionada assim:

$D_f = D_0(1+alpha*Delta T)$

Isso nos leva à expressão para a área final do disco:

$A_f = frac{pi(D_0)^2(1+alpha*Delta T)^2}{4}$

Isso implica numa variação da área dada por:

$A_f -A_0= frac{pi(D_0)^2(1+alpha*Delta T)^2}{4} - frac{pi D_0^2}{4}$

Se pudermos usar a aproximação (1+x)ⁿ = 1 + nx, válida quando x é muito menor que 1, teremos o seguinte:

$Delta A = frac{2pi D_0^2alpha Delta T}{4}$

Dos dados do enunciado:

$Delta A = frac{2pi 20^2*10^{-5}*500}{4}$

$Delta A = 2pi 100*10^{-5}*500$

$Delta A = pi$ , aproximadamente.

Marca-se a alternativa E.

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