Questão 5

ITA 2023

Física

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Um emissor de onda sonora esférica de frequência $f_{s}$ executa um movimento circular uniforme com velocidade angular $omega$ e raio $r$ em torno da origem $O$ do plano $xy$ , de acordo com a figura. Ao mesmo tempo, um receptor sonoro executa um movimento no eixo y de forma que sua posição sempre coincida com a coordenada y do emissor. A velocidade do som é designada como $v_{som}$ . Sabe-se que o gráfico da frequência da onda sonora detectada no receptor, f $f_{ob}$ , em função da coordenada x do emissor, aproxima-se de uma cônica para o caso em que $omega r< v_{som}$ .

Determine:

a) a velocidade máxima alcançada pelo receptor;

b) a cônica e sua equação.

Gabarito:

Resolução:

A) Como o receptor está sempre na mesma posição vertical da fonte, então o movimento do receptor se trata de uma projeção do movimento da fonte. Dessa forma:

$y_f (t)=r cdot sen(omega t)$ , supondo um movimento que se inicia em $y=0$ .

$v_f=omega r cdot cos(omega t)$ → velocidade máxima é $v_{f(max)}=omega r$

B) Como a velocidade do som é consideralvelmente maior que a velocidade $omega r$ , podemos considerar que o som alcança o receptor quase instantaneamente.

$f_{ob}=f_s cdot left ( frac{v_{som}}{v_{som}-v_f cdot cos(90^circ - heta)} ight )$

$f_{ob}=f_s cdot left ( frac{1}{1-frac{v_f }{v_{som}}cdot sen( heta)} ight )$

$f_{ob}=f_s cdot left ( 1-frac{v_f }{v_{som}}cdot sen( heta) ight )^{-1}$

Aproximação: $(1+a)^n=1+ncdot a$ , se $a ll 1$ . Assim:

$f_{ob}=f_s cdot left ( 1-frac{v_f }{v_{som}}cdot sen( heta) ight )^{-1}=f_s cdot left ( 1+ frac{v_f }{v_{som}}cdot sen( heta) ight )$

$frac{f_{ob}}{f_s}-1=frac{v_f}{v_{som}} sen( heta)$

$frac{f_{ob}}{f_s}-1=frac{omega r}{v_{som}} sen( heta)$

$frac{f_{ob}}{f_s}-1=frac{omega y}{v_{som}}$

$left (frac{f_{ob}-f_s}{f_s} ight )^2=frac{omega^2 }{v_{som}^2} y^2$

$left (frac{f_{ob}-f_s}{f_s} ight )^2=frac{omega^2 }{v_{som}^2} (r^2-x^2)$

$frac{(f_{ob}-f_s)^2}{frac{f_s^2omega^2}{v_{som}^2}} =(r^2-x^2)$

$frac{(f_{ob}-f_s)^2}{frac{f_s^2omega^2}{v_{som}^2}}+ x^2=r^2$

$frac{(f_{ob}-f_s)^2}{frac{f_s^2omega^2r^2}{v_{som}^2}}+ frac{x^2}{r^2}=1$ → elipse transladada

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