Questão 2

ITA 2023

Física

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere uma partícula $P_1$ , de massa $m_1$ , inicialmente em repouso. Em seguida, essa partícula é acelerada por uma força constante $underset{F_{1}}{ ightarrow}$ , durante um intervalo de tempo $Delta t_{1}$ . Após este intervalo de tempo, $P_1$ move-se livremente sem atrito por um plano, até colidir com uma partícula $P_2$ , de massa $m_2 = 2m_1$ . Após a colisão, $P_2$ sai em uma trajetória que faz um ângulo de $heta = frac{pi }{6} rad$ com relação à trajetória inicial (pré-colisão) de $P_1$ . Após um breve deslocamento, uma força constante $underset{F_{2}}{ ightarrow}$ , com direção contrária à da velocidade da partícula $P_2$ , atua durante um intervalo de tempo $Delta t_{2}= sqrt{3} Delta t_{1}$ atéa parada total de $P_2$ .

Sabendo que a colisão entre $P_1$ e $P_2$ é inelástica e resulta em uma perda de 25% da energia mecânica do sistema, determine a magnitude da força $F_1$ em termos da magnitude de $F_2$ .

Gabarito:

Resolução:

Velocidade da partícula 1 antes da colisão:

$m_1 cdot v_0 =F_1 cdot Delta t_1$ → $v_0 =frac{F_1 cdot Delta t_1 }{m_1}$

Velocidade da partícula 2 após a colisão:

$m_2 cdot v_2 =F_2 cdot Delta t_2$

$2m_1 cdot v_2 =F_2 cdot sqrt{3 }Delta t_1$ → $v_2 =frac{F_2 cdot sqrt{3}Delta t_1 }{2m_1}$

Antes da colisão:

Depois da colisão:

Conservação do momento na vertical:

$m_1 cdot v_1 cdot sen(alpha)=m_2 cdot v_2 cdot sen( heta)$

$m_1 cdot v_1 cdot sen(alpha)=2m_1 cdot v_2 cdot frac{1}{2}$ → $sen(alpha)=frac{v_2}{v_1}$

Conservação do momento na horizontal:

$m_1 cdot v_0 =m_1 cdot v_1 cdot cos(alpha)+m_2 cdot v_2 cdot cos(30^circ)$

$m_1 cdot v_0 =m_1 cdot v_1 cdot cos(alpha)+2m_1 cdot v_2 cdot frac{sqrt{3}}{2}$ → $cos(alpha)=frac{v_0-sqrt{3}v_2}{v_1}$

Com o auxílio da trigonometria:

$sen^2(alpha)+cos^2(alpha)=1$

$left (frac{v_0-sqrt{3}v_2}{v_1} ight )^2+left ( frac{v_2}{v_1} ight )^2=1$

$4v_2^2+v_0^2-2v_0 cdot v_2 cdot sqrt{3}=v_1^2$

Da energia:

$frac{m_1v_1^2}{2}+frac{m_2v_2^2}{2}=frac{3}{4}cdot frac{m_1v_0^2}{2}$

$4v_1^2+8v_2^2=3v_0^2$

Substituindo valores:

$4v_1^2+8v_2^2=3v_0^2$

$4(4v_2^2+v_0^2-2v_0 cdot v_2 cdot sqrt{3})+8v_2^2=3v_0^2$

$16v_2^2+4v_0^2-8v_0 cdot v_2 cdot sqrt{3}+8v_2^2=3v_0^2$

$24v_2^2+v_0^2-8v_0 cdot v_2 cdot sqrt{3}=0$

Substituindo as equações iniciais:

$v_0 =frac{F_1 cdot Delta t_1 }{m_1}$ e $v_2 =frac{F_2 cdot sqrt{3}Delta t_1 }{2m_1}$

$frac{24cdot 3 cdot F_2^2 cdot Delta t_1^2}{4 m_1^2}+frac{F_1^2 cdot Delta t_1^2}{m_1^2}-frac{8cdot 3cdot F_1 cdot F_2 cdot Delta t_1^2}{2 m_1^2}=0$

$6cdot 3 cdot F_2^2 +F_1^2-4cdot 3cdot F_1 cdot F_2 =0$

$18 F_2^2-12 F_1 cdot F_2 +F_1^2 =0$

$Delta = 144-4 cdot 18=72$

$F_1=left (frac{12pm 6sqrt{2}}{2} ight )F_2$

$F_1=(6pm 3sqrt{2} ) F_2$

Vamos analisar mais de perto:

Conservação do momento na direção normal:

$m_1 cdot frac{sqrt{3}v_0}{2}=m_1 cdot V_n +m_2 cdot v_2$

$V_n = frac{sqrt{3}v_0}{2}-2v_2$

Coeficiente de restituição:

$e=frac{v_2-v_n}{frac{sqrt{3}v_0}{2}}$

$e=frac{v_2-frac{sqrt{3}v_0}{2}+2v_2}{frac{sqrt{3}v_0}{2}}$

$e=2sqrt{3}cdot frac{v_2}{v_0}-1$

Mas, sabemos que $frac{v_2}{v_0}=frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{F_1}{F_2}$ .

$e=3cdot frac{F_2}{F_1}-1$

Como não existe $e <0$ , então:

$e=3cdot frac{F_2}{F_1}-1geq 0$

$3cdot frac{F_2}{F_1}geq 1$

$frac{F_1}{F_2}leq 3$

Desse modo, o único valor que satisfaz todos os requisitos é $F_1=(6- 3sqrt{2} ) F_2$ .

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