Questão 2

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Uma prancha retangular de espessura uniforme, 5,0 m de comprimento, 1,5 g/cm³ de densidade e 10 Kg de massa homogeneamente distribuída, é parcialmente submersa na piscina ilustrada na figura, em cuja parede (lisa) se apoia, formado um ângulo de 30° com o piso horizontal, cujo coeficiente de atrito com a prancha é $0,6sqrt{3}$ . Determine para quais alturas $y$ do nível de água a prancha permanece em equilíbrio estático nessa posição.

Gabarito:

Resolução:

Dados:

$l=5,0m$

$d=1,5frac{g}{cm^3}=1500frac{kg}{m^3}$

$m=10kg$

$mu _{piso}=0,6sqrt{3}$

$y=?$

Resolução:

$frac{V_{tot}}{l_{tot}}=frac{V_{sub}}{l_{sub}}$

$V_{sub}=frac{V_{tot}}{l_{tot}}l_{sub}$

$V_{sub}=frac{frac{m}{d}}{l}frac{y}{sen30^o} = frac{2my}{dL}$

A soma dos momentos de força no Piso deve ser igual a 0.

Pelo equilíbrio das forças temos $F_{at} = N_2$ , na horizontal, e $P = E+N_1$ , na vertical.

$\sum M_P=0: P.frac{Lcos30^circ}{2}-E(frac{y}{2tg30^circ})-N_2Lcos30^circ=0 \\\ sum M_P = frac{PLsqrt3}{4} - E(frac{sqrt{3}y}{2}) - frac{F_{at}L}{2} = 0$

Isolando a força de atrito ficamos com:

$\F_{at} = frac{2}{L}(frac{PLsqrt3}{4} - frac{Esqrt3y}{2}) Rightarrow \\F_{at} = frac{Psqrt3}{2} - frac{Esqrt{3}y}{L}$

A força de atrito máxima é dada por:

$F_{at_{max}}=mu N_1 = 0,6sqrt3(P -E)$

Logo temos que para a prancha ficar equilibrada precisamos:

$\frac{Psqrt{3}}{2} - frac{Esqrt{3}y}{L} leq 0,6sqrt3(P -E)$

Substituindo na equação acima e lembrando que $P =mg$ e $E = frac{2mgd_{agua}y}{dL}$ temos:

$\frac{cancel{mgsqrt{3}}}{2} - frac{2cancel{mgsqrt{3}}d_{agua}y^2}{dL^2} leq 0,6cancel{mgsqrt3}(1 - frac{2d_{agua}y}{dL}) Rightarrow \\ 0,5 - frac{2d_{agua}y^2}{dL^2} leq 0,6 - frac{1,2d_{agua}y}{dL} Rightarrow \\\ frac{-2y^2}{37,5} + frac{1,2y}{7,5} -0,1 leq0$