Questão 5

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância $d$ desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de $v_p$ para $v_e$ e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior $a$ . Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão $v_e / v_p$ é dada por:

$sqrt{frac{d}{a} - frac{1}{2}}$

$sqrt{frac{d}{2a}}$

$sqrt{1-frac{d}{2a}}$

$sqrt{1+frac{d}{2a}}$

$sqrt{1-frac{d}{a}}$

Gabarito:

$sqrt{1-frac{d}{2a}}$

Resolução:

Quando a orbita era parabólica, a energia mecânica é dada por:

$frac{GmM}{d}= frac{mv_p^2}{2}Rightarrow v_p =sqrt{ frac{2GM}{d}}$

Na órbita elíptica os propulsores são ligados, assim podemos igualar a energia mecânica desse movimento a uma orbita circular de raio a, e a energia da mesma é resultada fazendo:

$F_G=F_c Rightarrow frac{G.M.m}{a^2}= frac{mv^2}{a} Rightarrow mv^2 = frac{G.M}{a}$

Assim a energia mecânica desse sistema é dada fazendo:

$\ E_M = E_c +E_p Rightarrow E_M = - frac{G.m.M}{a}+ frac{m.v^2}{2}Rightarrow E_M = - frac{G.m.M}{a} +frac{frac{G.M.m}{a}}{2} \ \ E_M = - frac{G.m.M}{2a}$

Logo podemos definir a energia da órbita elíptica como:

$\ E_M = - frac{G.M.m}{2a} = frac{mv_e ^2}{2} - frac{G.M.m}{d^2} Rightarrow G.M.m (frac{1}{d^2}- frac{1}{2a}) = frac{mv_e^2 }{2} \ \ v_e = sqrt {2GM.(frac{1}{d^2}- frac{1}{2a})}$

Fazendo a razão dessas duas velocidades (elipse e parábola) temos:

$frac{V_e}{v_p}= frac{sqrt {2GM.(frac{1}{d^2}- frac{1}{2a})}}{sqrt{ frac{2GM}{d}}} = sqrt{ 1-frac{d}{2a}}$

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