Questão 5

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Frentes de ondas planas de luz, de comprimento de onda $lambda$ , incidem num conjunto de três fendas, com a do centro situando-se a uma distância $d$ das demais, conforme ilustra a figura. A uma distância $D gg d$ , um anteparo registra o padrão de interferência gerado pela difração da onda devido às fendas. Calcule:

A razão entre a intensidade da franja clara central e a das franjas claras vizinhas.
Os ângulos $heta_n$ para os quais ocorrem franjas escuras.

Gabarito:

Resolução:

Para obtermos a Intensidade em cada ponto, devemos calcular o campo elétrico resultante ao se interferir as frentes de onda. A partir disso, necessita-se lembrar que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo elétrico, isto é

$I propto E^2$

Para a fenda central consideraremos que:

$E = E_0cdot cosomega t$

Para as demais fendas, faremos:

$Delta x = dsen heta$

$frac{Delta x}{lambda} = frac{Delta phi}{2pi} Rightarrow Delta phi = frac{2pi dsen heta}{lambda}$

Onde $Delta phi$ é a defasagem angular entre as frentes... Desse modo, os campos elétricos das fendas superior e inferior, serão dadas por:

$left{egin{matrix} E_1 = E_0 cos(omega t + Delta phi)\ E_2 = E_0 cos(omega t - Delta phi) end{matrix} ight.$

O campo elétrico resultante será de :

$E_r = E + E_1 + E_2 = E_0(cosomega t+cos(omega t + Delta phi)+cos(omega t - Delta phi))$

$herefore E_r = E_0cdot cosomega tcdot(1+2cosDelta phi)$

Com isso, podemos responder os itens pedidos:

Item a)

Para o máximo central, temos $E_r = 3E_0cosomega t$

Para termos o máximo de intensidade temos 2 possibilidades:

CASO I - $cosDelta phi = 0 Rightarrow E_r = E_0cosomega t$

Esse máximo ocorre quando as frentes das ondas das frentes superior e inferior interferem destrutivamente entre elas. A razão de intensidades pedidas é dada por:

$frac{I}{I_0} = (frac{E_0cosomega t}{3E_0cosomega t})^2 = frac{1}{9}$

CASO II - $cosDelta phi = 1 Rightarrow E_r = 3E_0cosomega t$

A razão pedida será então de

$frac{I}{I_0} = (frac{3E_0cosomega t}{3E_0cosomega t})^2 = 1$

Desse modo existem máximos cuja razão pedida pode valer 1/9 e 1.

Item b)

Para que as franjas sejam escuras devemos ter a amplitude nula, com isso as possíveis situações são:

$Delta phi = frac{2 pi}{3} ou Delta phi = frac{4 pi}{3}$

Com isso temos a seguinte relação:

$Delta phi = frac{2 pi}{lambda } .d .sen( heta)$

1° Caso

$frac{2.pi}{3} = frac{2 pi}{lambda } .d.sen( heta) Rightarrow sen( heta)= frac{lambda}{3d} Rightarrow heta = arc sen(frac{lambda}{3d}) +2m pi$

2° Caso

$frac{4.pi}{3} = frac{2 pi}{lambda } .d.sen( heta) Rightarrow sen( heta)= frac{2.lambda}{3d} Rightarrow heta = arc sen(frac{2.lambda}{3d}) +2m pi$

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