Questão 4

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Um planeta esférico de massa $M$ e raio $R$ gira com velocidade angular constante ao redor de seu eixo norte-sul. De um ponto de sua linha equatorial é lançado um satélite artificial de massa $m ll M$ sob ação de seus propulsores, que realizam um trabalho $W$ . Em consequência, o satélite passa a descrever uma órbita elíptica em torno do planeta, com semieixo maior $2R$ . Calcule:

A excentricidade máxima da órbita do satélite para que este complete uma volta ao redor do planeta.
O período de rotação do planeta, levando em conta as grandezas intervenientes, inclusive a constante universal da gravitação $G$ .

Gabarito:

Resolução:

a) O satélite orbitará com o centro do planeta em um dos focos. Para ser posível completar uma volta completa no planeta devemos ter que:

Logo, temos:

$\ a = 2R \ c = R \ e_{max} = frac{1}{2}$

b) A energia de tal órbita elíptica será de:

$E_M= frac{G.M.m}{2a}$

Olhando pelo desenho temos que a=2R, logo:

$E_{Me}= frac{G.M.m}{4R}$

Sendo essa energia quando o corpo estava na elipse.

A energia (trabalho) realizado pelos propulsores é dado pela diferença da energia mecânica do sistema, então vamos analisar a energia inicial (quando o movimento era circular) do mesmo:

$E_{Mo}= frac{mV_o^2}{2}-frac{G.M.m}{R}$

Sò que a velocidade inicial pode ser calculada por:

$V_0= w.R Rightarrow V_0 = frac{ 2.pi.R}{T}$

Pois o movimento é circular, logo substituindo temos:

$E_{Mo}= frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}-frac{G.M.m}{R}$

ENtão podemos dizer que o trabalho dos motores vale:

$\ W=E_{Me }- E_{Mo} Rightarrow W = -frac{G.M.m}{4R} -( frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}-frac{G.M.m}{R}) \ \ W= frac{3.G.M.m}{4R} - frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2} Rightarrow frac{m.4.pi^2 .R^2}{2T^2}= frac{3.G.M.m}{4R}-W \ \ frac{2pi ^2.R^2}{T^2} =frac{3.G.M.}{4R}-frac{W}{m} Rightarrow frac{2pi ^2.R^2}{T^2} = frac{3.G.M.m -4W.R}{4R.m} \ \ frac{T^2}{2pi^2.R^2}= frac{4R.m}{3.G.M.m -4W.R} Rightarrow T^2= frac{8 pi^2R^3.m}{3.G.M.m -4W.R} \ \ \ T= sqrt{frac{8 pi^2R^3.m}{3.G.M.m -4W.R}}$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Considere g como o módulo da aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10 m/s2. Considere uma teoria na qual a força...

Ver questão

Questão 4

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Por uma mangueira de diâmetro flui água a uma velocidade de 360 m/min, conectado na sua extremidade a 30 outras mangueiras iguais entre si, de diâmetro...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância desse corpo cele...

Ver questão

Questão 6

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Uma pequena esfera com peso de módulo é arremessada verticalmente para cima com velocidade de módulo a partir do solo. Durante todo o per...

Ver questão