Questão 3

ITA 2020

Física

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Um bloco de massa m sustentado por um par de molas idênticas, paralelas e de constante elástica k, desce verticalmente com velocidade constante e de módulo v controlada por um motor, conforme ilustra a figura. Se o motor travar repentinamente, ocorrerá uma força de tração máxima no cabo com módulo igual a:

$mg+sqrt{(mg)^{2}+2kmv^{2})}$

$mg+sqrt{(mg)^{2}+kmv^{2})}$

$mg+sqrt{2kmv^{2}}$

$mg+sqrt{4kmv^{2}}$

$mg+sqrt{kmv^{2}}$

Gabarito:

$mg+sqrt{2kmv^{2}}$

Resolução:

No sistema inicial a mola equivalente tem constante equivalente $k_{eq} = 2k$

A tração é igual ao Peso: $T = mg$

Com uma deformação x₁ temos a força na mola equivalente: $F = 2kx_{1} = mg$

No travamento a tração máxima ocorre quando a velocidade do bloco for 0. E isso implica que o bloco irá descer uma certa altura x₂ sendo desacelerado.

Pela conservação da energia temos

$frac{mv^{2}}{2} + mgx_{2} + frac{2kx_{1}^{2}}{2} = frac{2k(x_{1}+x_{2})^{2}}{2}$

$mv^{2} + 2mgx_{2} + 2kx_{1}^{2} = 2k(x_{1}+x_{2})^{2}$

$mv^{2} + 2mgx_{2} + 2kx_{1}^{2} = 2kx_{1}^{2} + 4kx_{1}x_{2} + 2kx_{2}^{2}$

Assim encontramos:

$mv^{2} + 2mgx_{2} = 4x_{1}x_{2} + 2kx_{2}^{2}$

Substituindo $x_{1} = frac{mg}{2k}$ obtemos:

$2kx_{2}^{2} + 2mgx_{2} = mv^{2} +2mgx_{2}$

$2kx_{2}^{2} = mv^{2}$

$x_{2}^{2} = frac{mv^{2}}{2k}$

$x_2 = sqrt{frac{mv^2}{2k}}$

Então a força a mais que surge na mola é $2kx_2 = sqrt{frac{(2k)^2mv^2}{2k}} = sqrt{2kmv^2}$ .

Assim a tração máxima é:

$\T_{max} = mg + sqrt{2kmv^2}$

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