Questão 9

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Sejam A, B, C os vértices de um triângulo. Determine $senwidehat{B}$ , sabendo que

$sen(widehat{A}+widehat{B})= frac{4}{5}=sen(widehat{A}-widehat{C})$

Gabarito:

Resolução:

$A + B + C = 180^o: Rightarrow : A+B = 180^o-C$

$sen(A+B) = sen(180^o-C) = senC=frac{4}{5}=sen(A-C)$

Desse modo, temos que:

$senC=sen(A-C): Rightarrow : sen(A-C)=senC: Rightarrow : sen(A-C)-senC=0:: : (i)$

Lembrando que $senp-senq=2sen(frac{p-q}{2})cos(frac{p+q}{2})$

$sen(A-C)-senC=2sen(frac{A-2C}{2})cosfrac{A}{2}=0$

Daí:

$I$

$sen(frac{A-2C}{2})=0$

$left{egin{matrix}caso: 1: frac{A-2C}{2} =0Rightarrow A=2C\ \ caso: 2:frac{A-2C}{2}=pi Rightarrow A=2pi+2CRightarrow A> 2pi (absurdo) end{matrix} ight.$

$II$

$cosfrac{A}{2}=0Rightarrow frac{A}{2}= left{egin{matrix}frac{pi}{2} \ \ frac{3pi}{2} end{matrix} ight. (absurdo)$

Daí r= temos que A=2c

Portanto senB = sen (180 - (A+C) ) = sen ( 180- 3C)

sen B = sen 3C

Lembrando que :

sen(3X) = 3sen(x) - 4sen³(x)

$senB = 3cdot frac{4}{5}-4cdot (frac{4}{5})^3\\senB=frac{44}{125}$

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