Questão 37

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MÂN é igual a

$frac{1}{35}$

$frac{2}{35}$

$frac{4}{35}$

$frac{8}{35}$

$frac{16}{35}$

Gabarito:

$frac{4}{35}$

Resolução:

Temos que:

$tg(eta)=frac{overline{MR}}{overline{AR}}=frac{frac{l}{2}}{2l}=frac{1}{4}$

Pela fórmula da tangente da soma,

$tg(alpha + eta)=frac{tg(alpha)+tg(eta)}{1-tg(alpha)tg(eta)}=frac{overline{NR}}{overline{AR}}=frac{frac{l}{2}+frac{l}{4}}{2l}=frac{3}{8} Rightarrow frac{tg(alpha)+frac{1}{4}}{1-frac{tg(alpha)}{4}}=frac{3}{8}Rightarrow 8tg(alpha)+2=3-frac{3tg(alpha)}{4} Rightarrow tg(alpha)(8+frac{3}{4})=1 Rightarrow tg(alpha)=frac{1}{frac{32+3}{4}}=frac{4}{35}$

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