Questão 43

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Considere as seguintes afirmações:

I. se $n$ é um número natural, então $frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{2n}geq frac{1}{2}$

II. se $x$ é um número real e $x^3+x+1=0$ , então $x^2+frac{1}{x}+frac{1}{x^6}=0$

III. se $a$ , $b$ e $c$ são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então $frac{1}{sqrt{b}+sqrt{c}},frac{1}{sqrt{c}+sqrt{a}},frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}$ formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.

É(são) VERDADEIRA(S)

apenas I.

apenas I e II.

apenas I e III.

apenas II e III.

todas

Gabarito:

apenas I e III.

Resolução:

I. Verdadeira

$frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{2n}geq frac{1}{2n} + frac{1}{2n}+...+frac{1}{2n} = frac{n}{2n}=frac{1}{2}$

II. Falsa

Por inspeção, percebemos que $x$ não pertence ao conjunto ${0, -1, 1}$ .

Portanto,

$x^3+x+1=0 Rightarrow x^2+1+frac{1}{x}=x^2+frac{1}{x}+1=0 Rightarrow x^2+frac{1}{x}+1+frac{1}{x^6}-frac{1}{x^6}=x^2+frac{1}{x}+frac{1}{x^6}+1-frac{1}{x^6}=0Rightarrow x^2+frac{1}{x}+frac{1}{x^6}=frac{1}{x^6}-1 eq0$ ,

pois $x$ não é igual a $1$ , nem $-1$

III. Verdadeira

Seja $r$ a razão da progressão. Temos que $a=b-r$ e $c=b+r$ . Portanto,

$frac{1}{sqrt{b}+sqrt{c}}=frac{1}{sqrt{b}+sqrt{b+r}}=frac{1}{sqrt{b}+sqrt{b+r}} imesfrac{sqrt{b+r}-sqrt{b}}{sqrt{b+r}-sqrt{b}}=frac{sqrt{b+r}-sqrt{b}}{(sqrt{b+r})^2-sqrt{b}^2}=frac{sqrt{b+r}-sqrt{b}}{r}$

Seguindo raciocínio análogo, chegamos em:

$frac{1}{sqrt{c}+sqrt{a}}=frac{sqrt{x+r}-sqrt{x-r}}{2r}$ ,

$frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}=frac{sqrt{x}-sqrt{x-r}}{r}$

Subtraindo-se os termos consecutivos da sequência apresentada e simplificando o resultado, chegamos em:

$frac{1}{sqrt{c}+sqrt{a}}-frac{1}{sqrt{b}+sqrt{c}}=frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}-frac{1}{sqrt{c}+sqrt{a}}=frac{2sqrt{x}-sqrt{x-r}-sqrt{x+r}}{2r}$

Portanto, a sequência é, de fato, uma progressão aritmética.

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