Questão 8

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindro, e a área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro.

Determine, em função de h, o raio da esfera inscrita no cone.

Gabarito:

Resolução:

$\V_{cone}=frac{1}{2}V_{cilindro}\\V_{cone} = frac{pi r^2 h}{3}= frac{1}{2}pi r^2 H\\H=frac{2h}{3}$

$\A_{latcone} = pi r x = A_{latcilindro}=2pi rH = 2pi r frac{2h}{3}\\x=sqrt{h^2+r^2}\\pi rsqrt{h^2+r^2}=frac{4}{3}hpi r\\ sqrt{h^2+r^2}=frac{4}{3}h\\h^2+r^2=frac{16}{9}h^2\ h^2(frac{16}{9}-1)=r^2\\h=frac{r}{sqrt{7/9}}\\h=frac{3sqrt{7}r}{7}$

$senTheta =frac{r}{x} = frac{r}{sqrt{frac{9}{7}r^2+r^2}}=frac{1}{sqrt{frac{16}{7}}}=frac{sqrt{7}}{4}$

$senTheta =frac{R}{h-R} = frac{sqrt{7}}{4}\\4R=sqrt{7}h-sqrt{7}R\\R(4+sqrt{7})=sqrt{7}h\\R=frac{hsqrt{7}}{4+sqrt{7}}$

Racionalizando:

$R=frac{hsqrt{7}(4-sqrt{7})}{9}$

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