Questão 3

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Determine o número complexo z de menor argumento que satisfaz $egin{vmatrix} z-25i end{vmatrix}leq 15$

Gabarito:

Resolução:

$egin{vmatrix} z-25i end{vmatrix}leq 15$

$egin{vmatrix} x+iy-25i end{vmatrix}leq 15$

$egin{vmatrix} x+(y-25)i end{vmatrix}leq 15$

$x^2 + (y-25)^2leq 15$

Como vemos no desenho abaixo, tomamos a reta tangente ao círculo para encontrarmos o menor argumento:

Pelo desenho também temos:

$frac{15}{25}=cos heta$

$cos heta=frac{3}{5}$ $sen heta =frac{3}{4}$

$heta =arccos(frac{3}{5})$

O número complexo será dado por:

$z= ho cdot e^{i heta }=20cdot e^{i heta}$

$z=20cdot (cos heta +isen heta )$

$z=20.(frac{3}{5} +i frac{4}{5})$

$z=12+16i$

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