Questão 4

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Sabendo que x pertence ao intervalo fechado [1,64], determine o maior valor da função:

$f(x) = (log_{2}x)^4+12(log_{2}x)^2cdot log_2(frac{8}{x})$

Gabarito:

Resolução:

$xepsilon [1,64]$

$f(x) = (log_{2}x)^4+12(log_{2}x)^2cdot log_2(frac{8}{x})$

1) Condições de existência:

$x>0, frac{8}{x}>0 ightarrow x>0$

2) Recordando que

$log_2(frac{8}{x}) = log_28-log_2x = 3-log_2x$

Segue que:

$f(x) = (log_{2}x)^4+12(log_{2}x)^2cdot (3-log_2x)$

Seja $y = log_2x geq 0$ , então

$f(y) = y^4+12y^2cdot (3-y)$

$f(y) = y^4+12y^3+36y^2$

$f(y) = y^2(y^2-12y+36)$

$f(y) = y^2(y-6)^2$

$f(y) = (y(y-6))^2$

$f(y) = (y^2-6y)^2$

f(y) maximo quando $y^2-6y$ é maximo em módulo, logo:
$y_v=frac{-((-6)^2)}{4}=frac{-36}{4}=-9$

$f(y)_{max} = ((y^2-6y)_{max})^2=(-9)^2=81$

$f_{max}(x)=81$

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