Questão 46

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Seja $f:[-1,1] ightarrow [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]$ a funçao definida por $f(x)=arcsen(x)$ . Então, a soma

$sum_{n=0}^{4}f(cosfrac{2pi}{3^n})$

é igual a

$frac{253}{162}pi$

$frac{245}{162}pi$

$-frac{152}{81}pi$

$-frac{82}{81}pi$

$-frac{79}{162}pi$

Gabarito:

$frac{245}{162}pi$

Resolução:

Expandindo o somatório $S$ , chegamos em:

$S=sum_{n=0}^{4}f(cosfrac{2pi}{3^n})=f(cos(2pi))+f(cos(frac{2pi}{3}))+f(cos(frac{2pi}{9}))+f(cos(frac{2pi}{27}))+f(cos(frac{2pi}{81}))$

Temos que, para todo e qualquer $x in [0, pi]$ :

$arcsen(cos(x))=arcsen(sen(frac{pi}{2}-x))=frac{pi}{2}-x$

Portanto, como $arcsen(cos(2pi))=arcsen(1)=frac{pi}{2}$ , temos que:

$S=frac{pi}{2}+frac{pi}{2}-frac{2pi}{3}+frac{pi}{2}-frac{2pi}{3}+frac{pi}{2}-frac{2pi}{27}+frac{pi}{2}-frac{2pi}{81}=frac{245}{162}pi$

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