Questão 42

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Sabe-se que -2+2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a

$4left ( sqrt{3}+1 ight ).$

$6sqrt{3.}$

$8(sqrt{3}-1).$

$10 sqrt{3}$ .

$12sqrt{3}$ .

Gabarito:

$12sqrt{3}$ .

Resolução:

Encontrando z = (-2 + 2i)⁴ = 16(-1 + i)⁴ = -64

Agora, tomando a raiz cúbica:

$sqrt[3]{z} = sqrt[3]{-64}$

Cujas raízes são $-2 - 2sqrt{3}i$ ; $-4$ e $2+2sqrt{3}i$

Temos os afixos:

Da figura, percebemos que os afixos formam um triângulo isósceles de altura 6 e base $4sqrt{3}$ . Assim, a área vale

$frac{6.(4sqrt{3})}{2} = 12sqrt{3}$
Alternativa E

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