Questão 8

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Sejam $T, P, V$ e $ho$ , respectivamente, a temperatura, a pressão, o volume e a densidade de massa de um meio gasoso no qual há propagação de ondas sonoras.

(a) Supondo uma expressão empírica para a velocidade da onda sonora em um gás, $v_s = KT^a P^b V^c ho^d$ , em que K é um número real, determine os expoentes $a$ , $b$ , $c$ e $d$ .

(b) Considere uma onda sonora que se propaga em um sistema composto por dois ambientes contendo, respectivamente, os gases neônio, mantido à temperatura $T_1$ , e nitrogênio, à temperatura $T_2 = 5 T_1 / 3$ . Os ambientes estão separados entre si por uma membrana fina, impermeável e termoisolante, que permite a transmissão do som de um para outro ambiente. Considerando a constante do item anterior dada por $K sqrt{gamma }$ , em que $gamma$ é o coeficiente de Poisson do meio gasoso no qual o som se propaga, determine a razão numérica entre suas respectivas velocidades de propagação do som nos gases.

Gabarito:

Resolução:

T, P, V e P,

(a) $V_{s} = K T^{a} p^{b} V^{c} p^{d}$

$V_{s} = frac{L}{T} = left [ L ight ] cdot left [ T ight ]^{-1}$

$T = left [ Theta ight ]$

$P = frac{left [ M ight ] cdot left [ L ight ] left [ T ight ]^{-2}}{left [ L ight ]^{2}}$ $= left [ M ight ] cdot left [ T ight ]^{-2} left [ L ight ]^{-1}$

$V = left [ L ight ]^{3}$

$ho = frac{left [ M ight ]}{left [ L ight ]^{3}}$ $= left [ M ight ] cdot left [ L ight ]$ $= left [ M ight ] cdot left [ L ight ]^{-3}$

$left [ L ight ]^{1} cdot left [ T ight ]^{-1} = left [ Theta ight ]^{a} cdot left [ M ight ]^{b} cdot left [ T ight ]^{-2b} left [ L ight ]^{-b} left [ L ight ]^{3c} cdot left [ M ight ]^{d} cdot left [ L ight ]^{-3d}$

$0 = a$

$1 = - b + 3c - 3d$

$-1 = -2b$ $herefore$ $b = frac{1}{2}$

$0 = b + d$ $ightarrow$ $0 = frac{1}{2}$ $+$ $d$ $Rightarrow$ $d = - frac{1}{2}$

$1 = - frac{1}{2}$ $+$ $3c - 3$ $cdot$ $left ( - frac{1}{2} ight )$ $Rightarrow$ $1 = - frac{1}{2}$ $+$ $3c$ $+$ $frac{3}{2}$

$1 = 1$ $+$ $3c$ $herefore$ $c = 0$

$V_{s} = K sqrt{frac{P}{p}}$

b) $T_{1}$ e $T_{2}$ $=$ $frac{ST_{1}}{3}$

$K = sqrt{delta }$

$V_{s} = sqrt{delta }$ $cdot$ $sqrt{frac{P}{p}}$ $cdot$ $p = frac{P cdot M}{R cdot T}$

$V_{s} = sqrt{delta }$ $cdot$ $sqrt{frac{frac{P}{p cdot M}}{R cdot T}}$ $=$ $sqrt{delta }$ $cdot$ $sqrt{frac{R cdot T}{M}}$

$V_{sNe}$ $=$ $sqrt{delta _{Ne}}$ $cdot$ $sqrt{frac{R cdot T_{1}}{M_{Ne}}}$

$V_{sN2}$ $=$ $sqrt{delta _{N2}}$ $cdot$ $sqrt{frac{R cdot T_{2}}{M_{N2}}}$

$delta _{Ne}$ $=$ $frac{5}{3} R$

$delta _{N_{2}}$ $=$ $frac{7}{5} R$

$frac{V_{sNe}}{V_{sNe}}$ $=$ $large frac{sqrt{frac{5}{3}R} cdot sqrt{frac{R cdot T_1}{M_{Ne}}}}{sqrt{frac{7}{5} R} cdot sqrt {frac{R cdot T_2}{M_{Ne}}}} =$ $large sqrt{frac{5}{3}} cdot sqrt {frac{T_1}{M_{Ne}}} cdot {frac{5}{7}}$ $large sqrt{frac{5}{3}} cdot sqrt {frac{T_1}{M_{Ne}}} cdot sqrt{frac{5}{7}} cdot sqrt{frac{M_{N2}}{T_{2}}}$

$large frac{V_{sNe}}{V_{sN2}}$ $large =$ $large sqrt{frac{5}{3}} cdot sqrt{frac{T_{1}}{T_{2}}} cdot sqrt{frac{5}{7}} cdot sqrt{frac{M_{N2}}{M_{Ne}}}$ $large =$ $large sqrt{frac{5}{3}} cdot sqrt{frac{frac{T_{1}}{ST_{1}}}{3}} cdot sqrt{frac{5}{7}} cdot sqrt{frac{28_{g/mol}}{20_{g/mol}}}$

$large frac{V_{s_{Ne}}}{V_{sN2}}$ $large =$ $large sqrt{frac{5}{3}} cdot sqrt{frac{3}{5}} cdot sqrt{frac{5}{7}} cdot sqrt{frac{7}{5}}^{3}$ $large =$ 1

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