Questão 3

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Considere um corpo celeste esférico e homogêneo de massa M e raio R atravessado de polo a polo por um túnel cilíndrico retilíneo de diâmetro desprezível. Em um desses polos um objeto pontual é solto a partir do repouso no instante t=0. Sendo G a constante universal de gravitação, esse objeto vai alcançar polo após o intervalo de tempo dado por

$(frac{R^{3}}{GM})^frac{1}{2}$

$pi left ( frac{R^{3}}{GM} ight )^{frac{1}{2}}$

$left ( frac{4R^{3}}{3GM} ight )^{frac{1}{2}}$

$2pi left ( frac{R^{3}}{GM} ight )^{frac{1}{2}}$

$2pi left ( frac{4R^{3}}{3GM} ight )^{frac{1}{2}}$

Gabarito:

$pi left ( frac{R^{3}}{GM} ight )^{frac{1}{2}}$

Resolução:

Calculando a força que um corpo sente numa distância x do centro do corpo:

Pela Lei de Gauss para gravitação:

$g4pi x^2=4pi:G: frac{M}{4frac{pi}{3}R^3}frac{4pi}{3}x^3\\Logo:\\g=frac{GM}{R^3}x$

A força gravitacional será dada por:

$F_g=-frac{GMm}{R^3}x=ma::(2:lei:de:Newton)\\a=-frac{GM}{R^3}x\\a=-omega ^2x$

Portanto, temos um MHS onde queremos :

$Delta t=frac{T}{2}::portanto:\\omega ^2=left ( 2pi/T ight )^2=frac{GM}{R^3}Rightarrow T=2pisqrt{frac{R^3}{GM}}$

$Delta t=pileft ( frac{R^3}{GM} ight )^{1/2}$

Método 2:

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