Questão 10

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Considere um elétron confinado no interior de uma cavidade esférica de raio $alpha$ cuja fronteira é intransponível.

(a) Estime o valor do módulo de velocidade $(v)$ e a energia total $(E)$ desse elétron em seu estado fundamental.

(b) De acordo com o modelo de Bohr, o estado de menor energia do elétron de um átomo de hidrogênio é caracterizado pela órbita circular de raio $r_B$ , tendo o elétron a velocidade tangencial de módulo $v_B$ . Obtenha a restrição em $alpha/r_B$ para que ocorra a desigualdade $v > v_B$ .

Gabarito:

Resolução:

Queremos estimar a velocidade v desse elétron. Pelo Princípio da Incerteza de Heinsenberg, para precisarmos a velocidade devemos ter máxima incerteza na posição do elétron, logo:

$underbrace{Delta p}_{macute{a}xima , precisao} cdot underbrace{Delta x}_{minima , precisao} geq frac{hbar}{2}$

No caso de máxima precisão, a desigualdade nesta Lei tende a igualdade, daí:

$Delta p cdot Delta x ightarrow frac{hbar}{2}$

Logo: $Delta x cdot underbrace{mcdot v_{x}}_{Delta p ightarrow p} = frac{hbar}{2}$

No caso do problema, a máxima incerteza na posição é 2a, uma vez que a partícula necessariamente está confinada em uma esfera de raio a.

Portanto, $v_{x} = frac{hbar}{4ma}$

Da equipartição de energia:

$v_{x} = v_{y}=v_{z}$

Desse modo, $v = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2}= v_{x}sqrt{3} = frac{hbar cdot sqrt{3}}{4ma}$

E a energia, por sua vez:

$E = frac{mv^2}{2}=frac{3hbar ^2}{32ma^2}$

b) Do modelo atômico de Bohr,

$vec{L} = nhbar cdot vec{k} = mcdot vec{r_{B}} imes vec{v_{B}}$

Para o estado fundamental, n = 1... daí:

$v_{B} = frac{hbar}{mcdot r_{B}}$

Para $v > v_{B}$

$frac{hbar cdot sqrt{3}}{4ma} > frac{hbar}{mcdot r_{B}} Rightarrow frac{a}{r_{B}} < frac{sqrt{3}}{4}$

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