Questão 2

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Na figura, um braço articulado de massa desprezível e comprimento $l$ tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa $m$ , que o mantém sempre na horizontal. Nessa mesma extremidade é fixado um fio inextensível, também de massa desprezível, que sustenta um objeto de massa $M$ . Esse dispositivo permite a medida de frequências sonoras pela observação da ressonância entre o som e a corda oscilando em seu modo fundamental.

(a) Determine a frequência medida pelo dispositivo em função das massas $m$ e $M$ , do comprimento $l$ , da aceleração da gravidade $g$ e do ângulo $heta$ entre a corda e o braço

(b) Considere esse dispositivo instalado na única boa de um túnel inacabado em cujo interior são geradas ondas sonoras. Determine o comprimento $L$ do túnel, sabendo-se que dois modos consecutivos de vibração do ar são medidos, respectivamente, pela substituição de $M$ pelas massas $M_1$ e $M_2$ , com $M_2 > M_1$ . A resposta deve ser explicitada em função de $m, l, heta, M_1, M_2$ e da velocidade do som no ar $v_s$ .

Gabarito:

Resolução:

Pela figura, temos:

$frac{l}{cosTheta}=frac{lambda }{2}$

$lambda=frac{2l}{cosTheta }$

Além disso, temos $T=Mg$ e na junção da quina:

$T_1senTheta = TRightarrow T_1=frac{Mg}{senTheta}$

Logo: $v=sqrt{frac{T_1}{mu}}$

Onde: $mu=frac{m}{{L}}$ e ${L}$ é o comprimento da corda, então:

$mu=frac{m}{frac{l}{cosTheta}}=frac{m cosTheta}{l}$

$v=sqrt{frac{Mgl}{msenTheta cosTheta}}=lambda f= frac{2lf}{cosTheta}$

$f=frac{1}{2}sqrt{frac{MgcosTheta}{mlsenTheta}}$

O túnel inacabado comporta-se como um tubo sonoro fechado. Logo :

$L= (2n+1)frac{lambda }{4};:onde::lambda =frac{v}{f};:nin mathbb{Z}$

Logo:

$L= frac{(2n+1)}{2}cdot v_scdot sqrt{frac{mlsenTheta }{MgcosTheta }}$

Para M1 :

$L= frac{(2n+1)}{2}cdot v_scdot sqrt{frac{mlsenTheta }{M_1gcosTheta }}:::::(I)$

Para M2 :

$L= frac{(2n+1)}{2}cdot v_scdot sqrt{frac{mlsenTheta }{M_2gcosTheta }}::::(II)$

$(I)-II):\\frac{v_s}{2}cdot sqrt{frac{mlsenTheta }{gcosTheta }}cdot egin{bmatrix} frac{(2n+3)}{sqrt{M_1}}-frac{(2n+1)}{sqrt{M_2}} end{bmatrix}=0$

$\Para: egin{bmatrix} frac{(2n+3)}{sqrt{M_1}}-frac{(2n+1)}{sqrt{M_2}} end{bmatrix}=0:temos:\\\frac{(2n+3)}{sqrt{M_1}}=frac{(2n+1)}{sqrt{M_2}}\\\frac{(2n)}{sqrt{M_1}}-frac{(2n)}{sqrt{M_2}}=frac{(1)}{sqrt{M_2}}-frac{(3)}{sqrt{M_1}}$

$2ncdot egin{pmatrix} frac{sqrt{M_2}-sqrt{M_1}}{sqrt{M_1M_2}} end{pmatrix}=egin{pmatrix} frac{sqrt{M_1}-3sqrt{M_2}}{sqrt{M_1M_2}} end{pmatrix}$

$n=egin{pmatrix} frac{sqrt{M_1}-3sqrt{M_2}}{2(sqrt{M_2}-{sqrt{M_1}})} end{pmatrix}$

Logo:

$L=(n+frac{1}{2})cdot v_scdot sqrt{frac{mlsenTheta }{MgcosTheta }}=\\L=egin{pmatrix} frac{sqrt{M_1}-3sqrt{M_2}}{2(sqrt{M_2}-{sqrt{M_1}})}+frac{1}{2} end{pmatrix}cdot v_scdot sqrt{frac{mlsenTheta }{M_1gcosTheta }}$

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