Questão 4

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Um espelho côncavo de distância focal 12 cm reflete a imagem de um objeto puntiforme situado no seu eixo principal a 30 cm de distância. O objeto, então, inicia um movimento com velocidade $vec{v_0}$ de módulo 9,0 m/s. Determine o módulo e o sentido do vetor velocidade inicial da imagem, $vec{v_i}$ , nas seguintes casos:

(a) o objeto desloca-se ao longo do eixo principal do espelho.

(b) o objeto desloca-se perpendicularmente ao eixo principal do espelho.

Dado: $(1+x)^{-1}approx 1-x, para egin{vmatrix} x end{vmatrix}ll 1.$

Gabarito:

Resolução:

$frac{1}{f}=frac{1}{p}+frac{1}{p}$

$frac{1}{12}=frac{1}{30}+frac{1}{p}$

$frac{1}{p}=frac{1}{12}-frac{1}{30}$

$frac{1}{p}=frac{5}{60}-frac{2}{60}=frac{3}{60}=frac{1}{20}$

$p=20$

Para um instante dt após o instante inicial, segue:

Da equação de Gauss para espelhos esféricos:

$p=frac{fp}{p-f}=frac{12cdot (30-x)}{18-x}=frac{12}{18}cdot (30-x)cdot (1-frac{x}{18})^{-1}$

Mas $(1-frac{x}{18})^{-1}approx 1+frac{x}{18}$ , pois $frac{x}{18}ll 1$

Logo:

$p=frac{2}{3}cdot (30-x)cdot (1+frac{x}{18})$

$p=frac{2}{3}cdot [frac{-x}{18}+frac{12x}{18}+30]$

Como x é pequeno, então x² -> 0

$p=20+frac{4x}{9}$

Logo, $v_1=frac{Delta p}{Delta t}=frac{20+frac{4x}{9}-20}{Delta t}=frac{4x}{9Delta t}$

Onde $x = vDelta t$

Logo, $v_1 = frac{4v_0}{9} ightarrow v_1 = 4 ; m/s$

b) Analogamente

$x = vDelta t$

Pelo aumento linear:

$A = frac{-p}{p}=frac{i}{o} ightarrow i=frac{-p}{p}*o = frac{-20}{30}cdot v_0cdot Delta t$

Mas $i = v_1cdot Delta t ightarrow v_1=frac{-20cdot 9}{30}$

$v_1=-6;m/s$

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