Questão 1

ITA 2019

Física

(ITA - 2019 - 2ª FASE)

Conforme a figura, um veículo espacial, composto de um motor-foguete de massa m₁ e carga útil de massa m₂, é lançado verticalmente de um planeta esférico e homogêneo de massa M e raio R. Após esgotar o combustível, o veículo permanece em voo vertical até atingir o repouso a uma distância r do centro do planeta. Nesse instante um explosivo é acionado, separando a carga útil do motor-foguete e impulsionando-a verticalmente com velocidade mínima para escapar do campo gravitacional do planeta. Desprezando as forças dissipativas, a variação de massa associada à queima do combustível do foguete e efeitos de rotação do planeta, e sendo G a constante de gravitação universal, determine:

(a) o trabalho realizado pelo motor-foguete durante o 1º estágio do seu movimento de subida e

(b) a energia mecânica adquirida pelo sistema devido à explosão.

Gabarito:

Resolução:

a) O motor dá ao sistema energia cinética e gravitacional até certa altura "x" do planeta.

Com a energia cinética do foguete, este é capaz de atingir a altitude "r".

Logo:

$egin{vmatrix} Delta E_{k_{x ightarrow t}} end{vmatrix}=egin{vmatrix} Delta E_{pot_{x ightarrow t}} end{vmatrix}$

$W=Delta E_{pot_{R ightarrow r}}=-frac{GMm}{R}+frac{GMm}{r}$

onde $m=m_1+m_2\\W=frac{GM(m_1+m_2)}{Rr}cdot (r-R)$

b) A energia mecânica foi inserida na forma de energia cinética. Logo :

$Delta E_m=Delta E_c=frac{m_1v_1^2}{2}+frac{m_2v_2^2}{2}$

Pela conservação da QDM :

$m_1v_1=m_2v_2: ightarrow:v_{2},:velocidade:de:escape:de:m_2$

Cálculo de v2

$E_{total(m_2)}=0=-frac{GMm_2}{r}+frac{m_2v_2^2}{2}\\v_2=sqrt{frac{2GM}{r}}$

Portanto :

$v_1=v_2cdot frac{m_2}{m_1}=frac{m_2}{m_1}cdot sqrt{frac{2GM}{r}}$

Logo :

$Delta:E_m =frac{m_1}{2}cdot frac{m_2^2}{m_1^2}cdot frac{2GM}{r}+frac{m_2}{2}cdot frac{2GM}{r}=\\\\{frac{GMm_2}{r}}cdot egin{bmatrix} 1+frac{m_2}{m_1} end{bmatrix}$

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