Questão 22

ITA 2014

Física

(ITA – 2014) (2ª fase) Considere uma esfera maciça de raio r, massa m, coeficiente de dilatação volumétrica α, feita de um material com calor específico a volume constante c_v. A esfera, sujeita à pressão atmosférica p, repousa sobre uma superfície horizontal isolante térmica e está inicialmente a uma temperatura T alta o suficiente para garantir que a sua energia interna não se altera em processos isotérmicos. Determine a temperatura final da esfera após receber uma quantidade de calor Q, sem perdas para o ambiente. Dê sua resposta em função de g e dos outros parâmetros explicitados.

Gabarito:

Resolução:

Considere que após a esfera dilatar ela partirá de um raio "r" e chegará a um raio "R".

Neste caso então foi realizado trabalho pelo peso da esfera resistindo ao fato dela expandindo e a pressão atmosférica também exerceu trabalho contra essa expansão.

No primeiro caso (peso exercendo trabalho) podemos calcular dessa maneira:

$W = Pcdot d ightarrow Sabendo que peso e: P = mg entao:W = mcdot gcdot(R-r)$

Lembrando que podemos relacionar a dilatação volumétrica com a linear, vamos analisar a dilatação sofrida pelo raio da esfera:

$partial = frac{alpha }{3}$ , em que $partial$ é o coeficiente de dilatação linear, logo a equação da dilatação linear fica:

$R-r=rcdotfrac{alpha }{3}cdotDelta T$ substituindo assim na formula de trabalho mostrada acima fica:

$W = mcdot gcdot rcdotfrac{alpha }{3}cdotDelta T$

O trabalho realizado pela atmosfera é dado por:

$W = pcdot Delta V ightarrow Lembrando que a dilatacao volumetrica e dado por: \ Delta V = Vcdotalpha .Delta T e a formula de volume de uma esfera e V=frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} \ Entao temos W= pcdot(frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} )cdot alpha .Delta T$

Assim o trabalho total realizado é o trabalho da força peso mais o trabalho da atmosfera colocando o Δ T em evidência fica:

$W= [ (pcdot(frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} )cdot alpha)+( mcdot gcdot rcdotfrac{alpha }{3})] .Delta T$

Lembrando da primeira lei da termodinâmica:

$Delta U=Q-W ightarrow Q=Delta U+W$

$Delta U = mc_vDelta{T}$

$\Q=W +Delta U Rightarrow Q =[ (pcdot(frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} )cdot alpha)+( mcdot gcdot rcdotfrac{alpha }{3})+ mc_v] .Delta TRightarrow \ Delta T = frac{Q}{[ (pcdot(frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} )cdot alpha)+( mcdot gcdot rcdotfrac{alpha }{3}) + mc_v]}Rightarrow Delta T = Tf - TLeftrightarrow \ \ Tf =frac{Q}{[ (pcdot(frac{4}{3}cdotpi cdot r^{3} )cdot alpha)+( mcdot gcdot rcdotfrac{alpha }{3})+mc_v]} + T$

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