Questão 263

ITA 2014

Física

(ITA 2014) Considere dois satélites artificiais S e T em torno da Terra. S descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a, e T, uma órbita circular de raio a, com os respectivos vetores posição e com origem no centro da Terra. É correto afirmar que

para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $vec{r_{S}}$ é igual à varrida por $vec{r_{T}}$ .

para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por $vec{r_{S}}$ é maior que a varrida por $vec{r_{T}}$ .

o período de translação de S é igual ao de T.

o período de translação de S é maior que o de T.

se S e T têm a mesma massa, então a energia mecânica de S é maior que a de T.

Gabarito:

o período de translação de S é igual ao de T.

Resolução:

1) De acordo com a terceira Lei de Kepler:

$frac{a^{3}}{T^{2}}=k$ (constante)

$a$ representa o semieixo maior no caso da órbita elíptica e também o raio da circunferência no caso da órbita circular.

Como o semieixo maior da elipse e o raio da circunferência são iguais, concluímos que os períodos de translação são iguais.

2) A elipse, terá área menor que a circunferência $e$ ,como os períodos são iguais, a velocidade areolar de $T$ é maior e, no mesmo intervalo de tempo, a área varrida pelo raio de vetor $underset{r_{T}}{ ightarrow}$ será maior que a área varrida por $underset{r_{S}}{ ightarrow}$ .

3) Para satélites de mesma massa, quando o raio da trajetória circular é igual ao semieixo maior da órbita elíptica, as energias mecânicas são iguais, conforme se demonstra a seguir:

Para a órbita circular:

$E_{T}=-E_{cin}=-frac{GMm}{2a}$

Para a órbita elíptica(satélite $S$ ):

No periélio: $E_{S}=-frac{GMm}{d}+frac{m.V_{max}^{2}}{2}$ (1)

No afélio: $E_{S}=-frac{GMm}{D}+frac{m.V_{min}^{2}}{2}$ (2)

Em (1): $V_{max}^{2}=(E_{S}+frac{GMm}{d})frac{2}{m}$

Em (2): $V_{min}^{2}=(E_{S}+frac{GMm}{D})frac{2}{m}$

Sabe-se que: $V_{max}.d=V_{min}.D$

$V_{max}^{2}.d^{2}=V_{min}^{2}.D^{2}$

$(E_{S}+frac{GMm}{d})frac{2}{m}.d^{2}=(E_{S}+frac{GMm}{D})frac{2}{m}.D^{2}$

$E_{S}.d^{2}+GMm.d=E_{S}.D^{2}+GMm.D$

$E_{S}(d^{2}-D^{2})=GMm.(D-d)$

$E_{S}. (d-D).(d+D)=GMm.(D-d)$

$E_{S}=-frac{GMm}{D+d}$

Sendo $a=frac{D+d}{2}$ , vem: $E_{S}=-frac{GMm}{2a}$

Portanto: $E_{T}=E_{S}=-frac{GMm}{2a}$

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