Questão 277

ITA 2014

Física

(ITA-2014)Um cilindro de altura h e raio a, com água até uma certa altura, gira com velocidade angular ω constante. Qual o valor máximo de ω para que a água não transborde, sabendo que neste limite a altura z (ver figura) é igual a h/3 + ω²a²/(4g)? Dado: num referencial que gira com o cilindro, e, portanto, considerando a força centrífuga, todos os pontos da superfície da água têm mesma energia potencial.

$omega = sqrt{2gh/(3a^{2})}$

$omega = sqrt{4ga/(9h^{2})}$

$omega = sqrt{4ga/(3h^{2})}$

$omega = sqrt{4gh/(3a^{2})}$

Gabarito:

$omega = sqrt{4gh/(3a^{2})}$

Resolução:

O raio do cilindro é a e a sua altura é h; a velocidade angular $omega$ é constante. Queremos calcular o máximo valor da velocidade angular para qual a água não irá transbordar. Nesse limite, temos:

$= frac{h}{3} + frac{omega ^{2}a^{2}}{4g}$

Consideração indicada: no referencial que gira com o cilindro (há força centrífuga) todos os pontos da superfície da água tem a mesma energia potencia.

Analisando um elemento de água na superfície considerando o referencial não acelerado:

dela podemos escrever que:

$tg alpha = frac{dz}{dx}$

E pensando nos vetores representados, sabemos que:

$tg alpha = frac{a_{c}}{g}$

$tg alpha = frac{omega ^{2}x}{g}$

Portanto:

$frac{dz}{dx} = frac{omega ^{2}x}{g}$

$dz = frac{omega ^{2}x}{g} dx$

Integrando:

$int_{0}^{z}dar{z} = int_{0}^{x}frac{omega ^{2}ar{x}}{g} dar{x}$

As variáveis x e z foram escritas como $ar{x} e ar{z}$ porque são as variáveis que estão sendo somadas, por isso podem ser alteradas desse modo. Essa modificação evita o conflito ao substituirmos os limites de integração. Observa-se, portanto:

$z(x) = frac{omega ^{2}x^{2}}{2g}$

No caso de x = a temos que $z(a) = frac{omega ^{2}a^{2}}{2g}$ e igualando à definição do enunciado:

$frac{omega ^{2}a^{2}}{2g} = frac{h}{3} + frac{omega ^{2}a^{2}}{4g}$

$frac{omega ^{2}a^{2}}{2g} - frac{omega ^{2}a^{2}}{4g} = frac{h}{3}$

$frac{omega ^{2} a^{2}}{4g} = frac{h}{3}$

$omega ^{2} = frac{4hg}{3a^{2}}$

$oxed {omega = sqrt{frac{4hg}{3a^{2}}}}$

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