Questão 7

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 7)

Encontre os pares $(alpha, eta) in left ] 0, frac{pi}{2} ight [ mathrm{x} left ] 0, frac{pi}{2} ight [$ que satisfazem simultaneamente as equações

$( tg , alpha + ctg , eta) , cos , alpha , sen , eta - 2 , cos^2 (alpha - eta) = 1 mathrm{e} sqrt 3 , sen (alpha + eta) + cos (alpha + eta) = sqrt 3$

Gabarito:

Resolução:

Para a primeira expressão, temos:

$(tg(alpha) + cotg(alpha)) cdot cos(alpha) cdot sen(eta)-2cos^2(alpha-eta) = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen(alpha)cdot sen(eta)+cos(alpha)cdot cos(eta)-2cos^2(alpha-eta) = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cos(alpha - eta)-2cos^2(alpha-eta) = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cos^2(alpha-eta) - cos(alpha - eta) -1 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cos(alpha - eta) = 1$ ou $cos(alpha - eta) = -frac{1}{2}$

Analisando as duas possibilidades, teremos que:

$cos(alpha - eta) = 1 Rightarrow alpha - eta = 0 Rightarrow alpha = eta$ ;
$cos(alpha - eta) = -frac{1}{2}$ esse caso nunca ocorrerá, já que tanto $alpha$ , quanto $eta$ estão no primeiro quadrante e consequentemente $cos(alpha - eta)$ é sempre positivo.

Trabalhando com a segunda expressão, temos:

$sqrt{3}cdot sen(alpha+eta) + cos(alpha + eta) = sqrt{3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{2}cdot sen(alpha+eta) + frac{1}{2}cos(alpha + eta) = frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow cosleft ( frac{pi}{6} ight )cdot sen(alpha+eta) + senleft ( frac{pi}{6} ight )cos(alpha + eta) = frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow senleft (alpha + eta + frac{pi}{6} ight ) = frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow alpha + eta = frac{pi}{6}$ ou $alpha + eta = frac{pi}{2}$ , visto que tanto $alpha$ , quanto $eta$ estão no primeiro quadrante.

Sendo assim, podemos montar os dois sistemas a seguir:

$egin{cases} alpha = eta \ alpha + eta = frac{pi}{2} end{cases} Leftrightarrow ext{ } alpha =eta=frac{pi}{4}$

$egin{cases} alpha = eta \ alpha + eta = frac{pi}{6} end{cases} Leftrightarrow ext{ } alpha =eta=frac{pi}{12}$