Questão 5

ITA 2013

Matemática

[ITA - 2013 - 1 FASE] Se os números reais $a$ e $b$ satisfazem, simultaneamente, as equações

$sqrt{asqrt{b}} = frac{1}{2}$ e $ln(a^2+b) + ln 8 = ln 5$

um possível valor de é

A

$frac{sqrt2}{2}$

B

$1$

C

$sqrt2$

D

$2$

E

$3sqrt2$

Gabarito:

$frac{sqrt2}{2}$

Resolução:

$sqrt{asqrt{b}}=frac{1}{2}$ $Rightarrow$ $a^{2}b=frac{1}{16}$ $Rightarrow$ $b=frac{1}{16a^{2}}$

$ln(a^{2}+b) +ln8=ln5$

$ln[(a^{2}+b).8]=ln5$

$(a^{2}+b)8=5$

$8a^{2}+8b=5$

Sendo assim, podemos fazer a substituição:

$8a^{2}+8.frac{1}{16a^{2}}=5$

$a^{2}=frac{10pm 16}{32}$

$a^{2}=frac{1}{2} ou frac{1}{8}$

$left{egin{matrix} a^{2}=frac{1}{2}\ a^{2}.b=frac{1}{16} end{matrix} ight. = frac{a}{b}= pm 4sqrt{2}$

ou

$left{egin{matrix} a^{2}=frac{1}{8}\ a^{2}.b=frac{1}{16} end{matrix} ight. = frac{a}{b}= pm frac{sqrt{2}}2{}$

Gabarito: a)

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