Questão 3

Gabarito:

Resolução:

(z - 5 + 3i)⁴ = 1

Seja w = z - 5 + 3i

As raízes de w⁴ = 1 são as raízes quartas da unidade.

Assim, se w = cis(x), então w⁴ = cis(4x) = 1 = cis(0).

Desse modo, 4x = 0 + 2k, então

x = k/2; com k pertencendo à {0;1;2;3}

Assim, temos que:

w₁ = cis(0) = 1

w₂ = cis(/2) = i

w₃ = cis() = -1

w₄ = cis(3/2) = -i

Substituindo w = z - 5 + 3i, temos que:

z₁ = w₁ + 5 - 3i = 6 - 3i

z₂ = w₂ + 5 - 3i = 5 - 2i

z₃ = w₃ + 5 - 3i = 4 - 3i

z₄ = w₄ + 5 - 3i = 5 - 4i

(note que todos os afixos dos complexos z estão no 4º quadrante)

Sabemos que sendo arg(z) o argumento de z, temos que Im(z)/Re(z) = tg(arg(z)).

Num mesmo quadrante, a função tangente é crescente, assim o complexo z que tiver menor valor Im(z)/Re(z) será o que tem menor argumento. 

Im(z₁)/Re(z₁) = -3/6 = -0,5

Im(z₂)/Re(z₂) = -2/5 = -0,4

Im(z₃)/Re(z₃) = -3/4 = -0,75

Im(z₄)/Re(z₄) = -4/5 = -0,8

Assim, z₄ deve ser z₀, pois apresenta o menor argumento.

 

Logo, |z₀| = |z₄| = √(5² + (-4)²) = √41