Questão 5

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 5)

Considere o sistema na variável real x:

$left{egin{matrix} x^ 2 - x = alpha \ x-x^3 =eta end{matrix} ight.$

a) Determine os números reais $alpha$ e $eta$ para que o sistema admita somente soluções reais.

b) Para cada valor de $eta$ encontrado em (a), determine todas as soluções da equação $mathrm{x - x^3 =} eta$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Para a primeira equação, temos:

$x^2 - x = alpha Leftrightarrow x^2 - x - alpha = 0$

$x = frac{1pm sqrt{1+4alpha}}{2}$ , para que x tenha somente raízes reais, temos que: $alpha geq -frac{1}{4}$

Para que pelo menos uma delas seja raiz da segunda equação, teremos:

$x - x^3 = eta Leftrightarrow x(1-x)(1+x) = eta Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (1-x)x(1+x) = eta Leftrightarrow -(1-x)x(1+x) = -eta Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x-1)x(x+1) = -eta Leftrightarrow (x^2-x)(x+1) = -eta Leftrightarrow$

$Leftrightarrow alpha cdot (x+1) = -eta Leftrightarrow alpha cdot left (frac{1pm sqrt{1+4alpha}}{2}+1 ight ) = -eta Leftrightarrow$

$Leftrightarrow eta = -frac{alpha}{2}(3pmsqrt{1+4alpha})$

b) Com base no que encontramos no item anterior, temos que um dos valores de $x = frac{1pm sqrt{1+4alpha}}{2}$ é raiz da equação $x-x^3 - eta = 0$ , seja $R_{eq}$ essa raiz. Podemos agora utilizar o sistema Briot-Ruffini para encontrar o polinômio de grau 2 resultante da fatoração com base em $R_{eq}$ e consequentemente as demais raízes. Dessa forma, temos: