Questão 9

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 9)

Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo $mathrm{Bwidehat{C}A}$ em quatro ângulos iguais. Se $ell$ é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:

a) A medida da mediana em função de $ell$ .

b) Os ângulos $mathrm{Cwidehat{A}B}, mathrm{Awidehat{B}C} e mathrm{Bwidehat{C}A}$ .

Gabarito:

Resolução:

Com base no que é fornecido no enunciado, temos a seguinte figura:

Sendo CM a mediana, M o ponto médio do lado AB.

$(i)$ No triângulo retângulo BHC, temos:

$med(Chat{B}H) + 3 heta = 90^{circ} Rightarrow med(Chat{B}H) = 90^{circ} - 3 heta$

Seja $med(Chat{B}H) = alpha$ , podemos inferir da última expressão o seguinte:

$sen(alpha) = cos (3 heta)$

$(ii)$ No triângulo retângulo AHC, temos:

$med(Chat{A}H) + heta = 90^{circ} Rightarrow med(Chat{A}H) = 90^{circ} - heta$

Seja $med(Chat{A}H) = eta$ , podemos inferir da última expressão o seguinte:

$sen(eta) = cos ( heta)$

$(iii)$ Usando a lei dos senos nos triângulos CAM e CBM, temos:

$frac{CM}{sen(eta)} = frac{AM}{sen(3 heta)} Leftrightarrow frac{CM}{AM} = frac{sen(eta)}{sen(3 heta)} = frac{cos( heta)}{sen(3 heta)}$

$frac{CM}{sen(alpha)} = frac{BM}{sen( heta)} Leftrightarrow frac{CM}{BM} = frac{sen(alpha)}{sen( heta)} =frac{cos(3 heta)}{sen( heta)}$

Dessas duas igualdades, temos:

$frac{cos( heta)}{sen(3 heta)} = frac{cos(3 heta)}{sen( heta)} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen( heta)cdot cos( heta) = sen(3 heta)cdot cos(3 heta) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot sen( heta)cdot cos( heta) = 2cdot sen(3 heta)cdot cos(3 heta) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen(2 heta) = sen(6 heta) Leftrightarrow 2 heta + 6 heta = 180^{circ} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 8 heta = 180^{circ} Leftrightarrow heta = 22,5^{circ}$

Logo, $Bhat{C}A = 90^{circ}$ .

Olhando para o triângulo ABC que é retângulo em C, podemos circunscrevê-lo em uma semi-circunferência de diâmetro $l$ e raio $frac{l}{2}$ . Sendo assim, temos que: $CM = frac{l}{2}$ .