Questão 14

ITA 2013

Matemática

[ITA - 2013 - 1 FASE] Sejam $a$ um número real e $n$ o número de todas as soluções reais e distintas $x epsilon [0, 2pi ]$ da equação ${cos^8 x} - sen^8 x + 4 sen^6 x = a$ . Das afirmações:

I. Se $a$ = 0, então $n$ = 0;
II. Se $a$ = 1/2, então $n$ = 8;
III. Se $a$ = 1, então $n$ = 7;
IV. Se $a$ = 3, então $n$ = 2,

é (são) verdadeira(s)

A

apenas I.

B

apenas III.

C

apenas I e III.

D

apenas II e IV.

E

todas.

Gabarito: todas.

Resolução:

$sen^{2}x=t$

$cos^{8}x-sen^{8}x+4sen^{6}x=a$

$(1-t)^{4}-t^{4}+4t^{3}=a$

$6t^{2}-4t+1-a=0$

Se $ageq frac{1}{3}$ , $t=frac{2pm sqrt{6a-2}}{6}$

I - Verdadeira

Se $a=0<frac{1}{3}$ , n = 0

II - Verdadeira

Se $a=frac{1}{2},$ temos $t=frac{1}{2}oufrac{1}{6},$ e logo $n=+4=8$

III - Verdadeira

Se a = 1, temos que $t=frac{2}{3}$ ou $t=0$ . Logo n = 4 + 3 $Rightarrow$ $n=7$

IV - Verdadeira

$a = 3$ $Rightarrow$ t = 1 ou $t=-frac{1}{3}$ . Logo, n = 2 + 0

Gabarito: e)

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