Questão 8

ITA 2012

Matemática

[ITA 2012 - 1 FASE] Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x)=x-5 obtém-se resto zero e que . Então, p(-1) é igual a

Gabarito:

Resolução:

$p(x)=a(x-5).(x-2i)(x+2i).(x+\sqrt{3}-i).(x-\sqrt{3}-i)$

$p(x)=a(x-5).(x^{2}-4i^{2}).[(x+\sqrt{3})^{2}-i^{2}]$

$p(x)=a(x-5).(x^{2}+4)(x^{2}+2\sqrt{3x}+4)$

Tendo $p(1)=20.(5+2\sqrt{3})$

Obtemos:

$a.(-4).5.(5+2\sqrt{3})=20.(5+2\sqrt{3})$

a = -1

$p(x)=-1(x-5)(x^{2}+4)(x^{2}+2\sqrt{3}+4)$

$p(1)=30(5-2\sqrt{3})$

Gabarito: c)

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