Questão 5
ITA 2012
(ITA 2012 - 2 fase - Questão 5)
Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e um ponto P que dista 2 √ 2 cm do centro de ω. Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor ⌢ AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine:
a) A área total da superfície do sólido.
b) O volume do sólido.
Gabarito:
Resolução:
Conforme as informações fornecidas pelo enunciado, temos a seguinte figura:
O sólido formado pelos segmentos PA, PB e pelo arco AB, será um cilindro circular reto com uma concavidade esférica. Como mostrado na figura acima, ao girarmos o arco destacado em vermelho em torno da reta r, eixo cinza.
Sendo assim, temos:
a) A área total da superfície desse sólido de revolução será:
Área do círculo + Lateral do cilindro + Metade da casca da esfera
cm2.
b) O volume total desse sólido de revolução será:
Volume do cilindro - Metade do volume da esfera
cm3.