Questão 3

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 3)

Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1, 1 + x1, 1+x2, . . . , 1+xn e todos os outros termos são iguais a 1. Sabe-se que (x1, x2, . . . , xn) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $frac{1}{2}$ e a razão é 4. Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 256.

Gabarito:

Resolução:

Seja a matriz, de tamanho $(n+1) imes (n+1)$ , a seguinte:

$A= left[ egin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1\ 1 & 1+x_{1} & 1 & ... & 1\ 1 & 1 & 1+x_{2} & ... & 1\ : & : &: &: &: \ 1 & 1 & 1 & ... & 1+x_{n} end{array} ight ]$

Usando operações lineares, podemos calcular a determinante da seguinte forma:

$det(A)= left| egin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1\ 1 & 1+x_{1} & 1 & ... & 1\ 1 & 1 & 1+x_{2} & ... & 1\ : & : &: &: &: \ 1 & 1 & 1 & ... & 1+x_{n} end{array} ight | =$

$= left| egin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & ... & 1\ 0 & x_{1} & 0 & ... & 0\ 0 & 0 & x_{2} & ... & 0\ : & : &: &: &: \ 0 & 0 & 0 & ... & x_{n} end{array} ight | = x_{1} cdot x_{2} cdot ... cdot x_{n}$

Porém, como é dito no enunciado, $x_{1}, x_{2} , ... , x_{n}$ , são termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $frac{1}{2}$ e a razão é $q = 4$ . Sendo assim, temos:

$x_{1} cdot x_{2} cdot ... cdot x_{n} = (2^{-1})cdot(2^{1})cdot(2^3)cdot ext{ } ... ext{ } cdot (2^{2n-3}) = 2^{-1+1+3+...+(2n-3)}$

Note que o somatório dos expoentes é, na verdade, uma progressão aritmética de razão $r = 2$ e termo inicial $a_{0} = -1$ . Portanto, teremos:

$2^{-1+1+3+...+(2n-3)} = 256$

$2^{frac{(-1+(2n-3))cdot n}{2}} = 256$

$2^{n^2-2n} = 256$

$2^{n^2-2n} = 2^{8}$

$n^2-2n = 8$

$n^2-2n -8 = 0$

$(n-4)(n+2) = 0$

Como $n$ é obrigatoriamente maior do que zero, temos $n = 4$ e portanto, a matriz A tem ordem $n+1 = 5$ .

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