Questão 2

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 2)

Determine os valores reais de x de modo que sen(2x) − √ 3 cos(2x) seja máximo.

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a expressão, temos:

$sen(2x) - sqrt{3}cdot cos(2x) =$

$= 2cdotleft ( frac{1}{2}cdot sen(2x) - frac{sqrt{3}}{2}cdot cos(2x) ight ) =$

$= 2cdot left ( cosleft ( frac{pi}{3} ight )sen(2x) - senleft ( frac{pi}{3} ight ) cos(2x) ight ) =$

$= 2cdot sen left (2x-frac{pi}{3} ight )$

Dessa forma para que a expressão tenha o valor máximo, teremos que $sen left (2x-frac{pi}{3} ight ) = 1$ , ou seja:

$2x-frac{pi}{3} = frac{pi}{2} + kcdot 2pi Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x = frac{5pi}{12} + kcdot pi$ , com $k in mathbb{Z}$ .

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