Questão 4

ITA 2012

Matemática

(ITA - 2012)

Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz

$A=egin{bmatrix} n & log{_{2}}^{2} & -log{_{2}}^{frac{1}{2}}\ n+5& log{_{3}}^{3^{n}} &log{_{3}}^{243} \ -5& log{_{5}}^{frac{1}{125}} & -log{_{5}}^{25} end{bmatrix}$

é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A^-1.

Gabarito:

Resolução:

$A=egin{bmatrix} n & log{_{2}}^{2} & -log{_{2}}^{frac{1}{2}}\ n+5& log{_{3}}^{3^{n}} &log{_{3}}^{243} \ -5& log{_{5}}^{frac{1}{125}} & -log{_{5}}^{25} end{bmatrix}$

$A=egin{bmatrix} n & 1 & 1 \ n+5& n & 5 \ -5& -3 & -2end{bmatrix}$

$-2n^2-25-3n-15-(-5n-15n-2n-10)=9$

$-2n^2-40-3n+22n+10=9$

$-2n^2+19n-39=0$

$Delta =49$

$n= frac{-19 pm 7}{-4}$

$n= frac{13}{2}$ ou $n= 3$

Como $n$ é um natural ⇒ $n= 3$

Com isso:

$A=egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \ 8 & 3 & 5 \ -5& -3 & -2end{bmatrix}$

Encontrado a inversa:

$egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \ 8 & 3 & 5 \ -5& -3 & -2end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0& 0 & 1 end{bmatrix}$

Queremos a soma $a+d+g$ , que pode ser encontrada pelo sistema:

$left{egin{matrix} 3a+d+g=1\ 8a+3d+5g = 0 \ -5a-3d-2g = 0 end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema, encontramos os valores $a=1$ , $d=-1$ e $g=-1$ .

Logo, chegamos ao valor da soma $a+d+g=-1$ .

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