Questão 8

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 8)

Analise se $f: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ , $f(x) = left{egin{matrix} 3+ x^2, & xgeq 0 \ 3-x^2, & x < 0 end{matrix} ight.$ é bijetora e, em caso afirmativo, encontre $f^{-1}: mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ .

Gabarito:

Resolução:

Sendo $f:;mathbb{R} mapsto mathbb{R};;;;;;f(x)egin{cases} 3+x^2;;xgeq 0 & \ 3-x^2;;x<0 & end{cases}$ , temos o gráfico:

Vamos iniciar a questão testando a injetividade, para que uma função seja injetiva é necessário que para $f(x_1)=;f(x_2)$ necessáriamente $x_1=;x_2$ :

$f(x)=3+x^2;;;;;;;;xgeq 0$

$f(x_1)=f(x_2)$
$3+(x_1)^2=3+(x_2)^2$
$(x_1)^2=(x_2)^2$
$x_1=x_2$

$f(x)=3-x^2;;;;;;;;x<0$

$f(x_1)=f(x_2)$
$3-(x_1)^2=3-(x_2)^2$
$(x_1)^2=(x_2)^2$
$x_1=x_2$

Portando f(x) é injetora.

Agora, vamos verificar a sobretividade da função, para isso precisamos mostrar que a imagem da função é igual ao contradomínio da função:

$;;;;;f(x)egin{cases} 3+x^2;;;Im_1:[3+;+infty[ & \ 3-x^2;;;;Im_2:;]-infty;3[ & end{cases}$

$;Im_1;;cup;; Im_2=Im=CD=mathbb{R}$ , onde CD= contradomínio, logo f(x) é sobrejetora, portanto também bijetora.

Vamos agora calcular $f^{-1}(x)$ :

$;;;f^{-1}(x)egin{cases} 3+(f^{-1}(x))^2=x & \ 3-(f^{-1}(x))^2=x & end{cases}$

$3+(f^{-1}(x))^2=x$
$(f^{-1}(x))^2=x -3$
$f^{-1}(x)=pmsqrt{x -3}$ $x-3geq 0Rightarrow xgeq 3$

$3-(f^{-1}(x))^2=x$
$(f^{-1}(x))^2=3-x$
$f^{-1}(x)=pmsqrt{3-x}$ $3-x> 0Rightarrow x<3$

Para mantermos o espelhamento correto da função selecionamos:

$f:;mathbb{R} mapsto mathbb{R};;;;;f^{-1}(x)egin{cases} sqrt{x-3};;xgeq 3 & \ -sqrt{3-x};;x<3 & end{cases}$

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