Questão 218

ITA 2012

Matemática

[ITA 2012 - 1 FASE] Seja x ∈ [0,2π] tal que Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente:

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente devemos estudar a equação _:

$senxcdot cosx=frac{2}{5}>0$ :

Se $senx>0$ , então $cosx>0$ , implicando em $frac{senx}{cosx}=tgx>0$ .

Se $senx<0$ , então $cosx<0$ , implicando em $frac{senx}{cosx}=tgx>0$ .

A ideia é transformar a equação em uma expressão com $tgleft(x ight )$ :

$senxcosx=frac{2senxcosx}{2}=frac{sen2x}{2}Rightarrow sen2x=2cdotfrac{2}{5}Rightarrow sen2x=frac{4}{5}\\ cos2x=sqrt{1-sen^22x}=sqrt{1-frac{16}{25}}=frac{3}{5},,ou,,cos2x=frac{-3}{5}Rightarrow \\ Rightarrow tg2x=frac{sen2x}{cos2x}=frac{frac{4}{5}}{pmfrac{3}{5}}=pmfrac{4}{3}$

Porém, precisamos nos lembrar que $tg2x=frac{2tgx}{1-tg^2x}$ e $tg2x=frac{4}{3}$ . Daí:

$tg2x=frac{2tgx}{1-tg^2x}=frac{4}{3}Rightarrow 6tgx=4-4tg^2xRightarrow 4tg^2x+6tgx-4=0\\ Delta=left(6 ight )^2-4cdotleft(4 ight )cdotleft(-4 ight )=36+64=100Rightarrow sqrt{Delta}=sqrt{100}=10Rightarrow\\ tgx=frac{-6pmsqrt{Delta}}{2cdot4}=frac{-6pm10}{8}Rightarrow tgleft(x_1 ight )=frac{1}{2},,,tgleft(x_2 ight )=-2$

Para $tg2x=-frac{4}{3}$ :

$tg2x=frac{2tgx}{1-tg^2x}=-frac{4}{3}Rightarrow 6tgx=-4+4tg^2xRightarrow 4tg^2x-6tgx-4=0\\ Delta=left(-6 ight )^2-4cdotleft(4 ight )cdotleft(-4 ight )=36+64=100Rightarrow sqrt{Delta}=sqrt{100}=10Rightarrow\\ tgx=frac{-left(-6 ight )pmsqrt{Delta}}{2cdot4}=frac{6pm10}{8}Rightarrow tgleft(x_3 ight )=frac{-1}{2},,,tgleft(x_4 ight )=2$

Porém, no estudo de sinais no início da solução, vemos que $tgx>0$ , sempre. Então, as únicas soluções possíveis são $tgleft(x_1 ight )=frac{1}{2}$ e $tgleft(x_2 ight )=2$ .

Somando os 2 valores possíveis de $tgleft(x ight )$ :

$S=frac{1}{2}+2=frac{1+4}{2}=frac{5}{2}$ .

Multiplicando os 2 valores possíveis de $tgleft(x ight )$ :

$M=frac{1}{2}cdot2=1$ .

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

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