Questão 15

ITA 2012

Matemática

[ITA 2012 - 1 FASE] Considere um número real a ≠ 1 positivo, fixado, e a equação em x

a^2x + 2βa^x – β = 0, β ∈ IR

Das afirmações:

I. Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas;

II. Se β = -1, então existe apenas uma solução real;

III. Se β = 0, então não existem soluções reais;

IV. Se β > 0, então existem duas soluções reais distintas,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

I e III.

II e III.

II e IV.

I, III e IV.

Gabarito: II e III.

Resolução:

Efetuando as operações necessárias, temos que:

$\Delta > 0$

$\begin{align*} \beta &<-1 \\ ou \\ \beta &>0 \end{align*}$

Desse modo:

I -

$-1<\beta <0$

$\Delta <0$

Não há solução real.

Afirmativa falsa

II -

$\beta =-1$

$a^{2x}-2.a^{x}+1=0$

$(a^{x}-1)^{2}=0$

$a^{x}=a^{0}$

x = 0

Uma solução real.

Afirmativa verdadeira.

III -

$\beta =0$ $\Rightarrow$ $a^{x}=0$

Não há solução real - a exponencial nunca se anula

Afirmativa verdadeira

IV -

$\beta >0$ / $\Delta >0$

$a^{x}=\frac{-2\beta \pm 2\sqrt{\beta (\beta +1)}}{2}=$

$-\beta \pm \sqrt{\beta (\beta +1)}$

$-\beta \pm \sqrt{\beta (\beta +1)}$ > $\beta$

Apenas um valor de x

Gabarito: c)

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