Questão 14

ITA 2012

Matemática

[ITA 2012 - 1 FASE] Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que n(P(A) ∪ P(B))+1 = n(P(A ∪ B)). Então, a diferença n(A) – n(B) pode assumir:

um único valor.

apenas dois valores distintos.

apenas três valores distintos.

apenas quatro valores distintos.

mais do que quatro valores distintos.

Gabarito: um único valor.

Resolução:

$n(P(A))=2^{x}$ / $n(P(B))=2^{y}$ / $n(P(A\cup B))=2^{x+y}$ / $n(P(A)\cup P(B))=2^{x}+2^{y}-1$

$n(P(A)\cup P(B))+1=n(P(A\cup B))$

$2^{x}+2^{y}-1+1=2^{x+y}$

$2^x + 2^y = 2^{x+y}$

$frac{2^x}{2^y} + frac{2^y}{2^y} = frac{2^{x+y}}{2^y}$

$2^{x-y} +1 = 2^x$

$2^{x-y}= 2^x-1$

Podemos perceber que o lado esquerdo da equação é par e o lado direito é ímpar, a não ser que $2^{x-y}= 1$ . Logo:

$x-y=0$

Portanto pode obter um único valor. Gabarito: a)

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