Questão 3

ITA 2012

Física

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 3)

A figura mostra uma chapa fina de massa M com o formato de um triângulo equilátero, tendo um lado na posição vertical, de comprimento a, e um vértice articulado numa barra horizontal contida no plano da figura. Em cada um dos outros vértices encontra-se fixada uma carga elétrica q e, na barra horizontal, a uma distância $mathrm{a sqrt3 / 2}$ do ponto de articulação, encontra-se fixada uma carga Q. Sendo as três cargas de mesmo sinal e massa desprezível, determine a magnitude da carga Q para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Gabarito:

Resolução:

$PQ^{2} = PS^{2} + SQ^{2}$

$PQ^{2} = a^{2} + (frac{sqrt{3}a}{2})^{2}$

$PQ = frac{sqrt{7}a}{2}$

Pelas relações trigonométricas do triângulo retângulo, temos que:

$PQ cdot SX = SQ cdot PS$

$frac{sqrt{7}a}{2} cdot SX = frac{sqrt{3}a cdot a}{2}$

$SX = sqrt{frac{3}{7}} cdot a$

Como G é o baricentro do triângulo retângulo, este será igual a 1/3 da altura do mesmo:

$GT = frac{sqrt{3}a}{6}$

Agora fazendo o cálculo dos momentos em relação ao ponto S, sabendo que o somatório destes deve ser nulo:

$F_{1} cdot SQ + F_{2} cdot SX - Mg cdot GT = 0$

$frac{KQq}{(TS)^{2}} cdot frac{sqrt{3}}{2} cdot a + frac{KQq}{PQ^{2}} cdot sqrt{frac{3}{7}} cdot a - Mg cdot frac{sqrt{3}}{6}a = 0$

$frac{KQq}{(frac{a}{2})^{2}} cdot frac{sqrt{3}}{2} a + frac{KQq}{(frac{sqrt{7}}{2}a)^{2}} cdot sqrt{frac{3}{7}}a - Mg frac{sqrt{3}}{6}a = 0$

$Q = frac{7sqrt{7}}{12(7sqrt{7}+2)} cdot frac{Mga^{2}}{Kq}$

$Q = frac{7sqrt{7}}{12(7sqrt{7}+2)} cdot frac{Mga^{2}}{frac{1}{4pi varepsilon _{0}}q}$

$oxed {Q = frac{7sqrt{7}}{12(7sqrt{7}+2)} cdot frac{Mga^{2}}{q} cdot 4pi varepsilon _{0}}$

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