Questão 191

ITA 2012

Física

[ITA 2012 - 1 FASE] Boa parte das estrelas do Universo formam sistemas binários nos quais duas estrelas giram em torno do centro massa comum, CM. Considere duas estrelas esféricas de um sistema binário em que cada qual descreve uma órbita circular em torno desse centro. Sobre tal sistema são feitas duas afirmações:

I. O período de revolução é o mesmo para as duas estrelas e depende apenas da distância entre elas, da massa total deste binário e da constante gravitacional.

II. Considere que e o vetores que ligam o CM ao respectivo centro de cada estrela. Num certo intervalo de tempo Δt, o raio vetor varre uma certa área A. Durante este mesmo intervalo de tempo, o raio vetor também varre uma área igual a A.

Diante destas duas proposições, assinale a alternativa correta:

As afirmações I e II são falsas.

Apenas a afirmação I é verdadeira.

Apenas a afirmação II é verdadeira.

As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não justifica a I.

As afirmações I e II são verdadeiras e, além disso, a II justifica a I.

Gabarito: Apenas a afirmação I é verdadeira.

Resolução:

Calculando a coordenada do centro de massa do sistema binário:

$x_{CM} = frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+ m_{2}}$

$x_{CM} = frac{m_{2}d}{m_{1} + m_{2}}$

OBS: como o eixo de referência inicia-se sobre o centro de massa da estrela 1, a coordenada x deste é igual a zero, por isso foi cortado do cálculo.

Agora, sabemos que a força de atração gravitacional sobre cada um das estrelas atua como força centrípeta dentro do sistema binário.

Para a estrela 1:

$F_{g} = F_{cp}$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{1} omega _{1}^{2}x_{CM}$

$frac{Gm_{2}}{d^{2}} = omega _{1}^{2}x_{CM}$

$frac{Gm_{2}}{d^{2}} = omega _{1}^{2} cdot (frac{m_{2}d}{m_{1}+m_{2}})$

$frac{G}{d^{2}} = omega _{1}^{2} cdot (frac{d}{m_{1}+m_{2}})$

$omega _{1} ^{2} = frac{G (m_{1} + m_{2})}{d^{3}} = (frac{2pi}{T_{1}})^{2}$

Para a estrela 2:

$F_{g} = F_{cp}$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{2}omega _{2}^{2}(d-x_{CM})$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{2}omega _{2}^{2}(d-frac{m_{2}d}{m_{1} + m_{2}})$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{2}omega _{2}^{2}(frac{(m_{1}+m_{2})d - m_{2}d}{m_{1} + m_{2}})$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{2}omega _{2}^{2}d(frac{(m_{1}+m_{2}) - m_{2}}{m_{1} + m_{2}})$

$frac{Gm_{1}m_{2}}{d^{2}} = m_{2}omega _{2}^{2}d(frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}})$

$frac{G}{d^{2}} = omega _{2}^{2}d(frac{1}{m_{1} + m_{2}})$

$omega _{2} ^{2} = frac{G(m_{1} + m_{2})}{d^{3}} = (frac{2pi}{T_{2}})^{2}$

Logo:

$frac{T_{1}}{d^{3}} = frac{T_{2}}{d^{3}} = frac{4pi ^{2}}{G(m_{1}+m_{2})}$

A primeira afirmativa é, portanto, verdadeira, pois o período depende apenas da constante gravitacional, da distância entre as estrelas e da massa total do sistema.

A segunda afirmativa é incorreta, pois para um mesmo intervalo de tempo teremos raios de órbita diferente e, portanto, áreas varridas diferentes.

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