Questão 12

ITA 2011

Matemática

(ITA - 2011)

Com respeito a equação polinomial

$2x^4 -3x^3 -3x^2 + 6x-2 = 0$ :

Saiba que A B = ${ x : x in A ; e ; x otin B }$

todas as raízes estão em Q.

uma única raiz esta em Z e as demais estão em Q .

duas raízes estão em Q e as demais têm parte imaginária não nula.

não é divisível por 2x – 1.

uma única raiz está em Q e pelo menos uma das demais está em RQ.

Gabarito:

uma única raiz está em Q e pelo menos uma das demais está em RQ.

Resolução:

Por inspeção , descobrimos que uma das raizes é $x=1$ :

$2x^{4} - 3x^{3}-3x^{2}+6x -2 ightarrow 2-3-3+6-2=0$

Sabendo disso, podemos fatorar a equação utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini :

		2	-1	-4	2
1	2	-3	-3	6	-2
	2	-1	-4	2	0

$2x^{4} - 3x^{3}-3x^{2}+6x -2 = (x-1)(2x^{3} -x^{2}-4x+2)$

Podemos seguir fatorando a equação :

$(x-1)(2x^{3} -x^{2}-4x+2) =$

$[x^{2}(2x-1)-2(2x-1)] = (x-1)(2x-1)(x^{2}-2)=0$

Logo, as raízes da equação são $x=1: ,x=frac{1}{2}: x=sqrt{2}; x=-sqrt{2}$

a) Incorreta. $sqrt{2} otin mathbb{Q}$ e $-sqrt{2} otin mathbb{Q}$ .

b) Incorreta. Realmente, apenas uma única raiz está em $mathbb{Z}$ $(x=1)$ ,mas, das demais, apenas $frac{1}{2}in mathbb{Q}$ , já que $sqrt{2} otin mathbb{Q}$ e $-sqrt{2} otin mathbb{Q}$ .

c) Incorreta. Nenhuma raiz possui parte imaginária não nula.

d) Incorreta. Como demonstrado na fatoração, a equação é sim divisível por $(2x-1)$ .

e) Correta. Apenas a raiz $frac{1}{2} in mathbb{Q}setminus mathbb{Z}$ e, dentre as outras, tanto $sqrt{2}$ como $-sqrt{2}$

pertencem a $mathbb{R}setminus mathbb{Q}$

Questão 12

ITA 2011

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