Questão 13

ITA 2011

Matemática

(ITA - 2011) Sejam m e n inteiros tais que é a equação 36x² + 36y² + mx + ny - 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante.
Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm², é igual a:

Gabarito:

Resolução:

Vamos começar analisando a equação de uma circunferência centrada em (x₀,y₀) e raio R:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\\Rightarrow x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2=R^2\\Rightarrow x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-R^2=0$

reescrevendo a expressão do enunciado:

$36x^2+26y^2+mx+ny-23=0\\Rightarrow x^2+y^2+frac{m}{36}x+frac{n}{36}y-frac{23}{36}=0$

igualando os coeficientes com a equação genérica, e sabendo que o R=1:

$egin{cases} -2x_0=frac{m}{36}\ -2y_0=frac{n}{36}\ x_0^2+y_0^2-1=-frac{23}{36} end{cases}$

usando agora que n=-3m/2 o sistema fica:

$egin{cases} x_0=-frac{m}{72}\ y_0=frac{m}{48}\ x_0^2+y_0^2=frac{13}{36} end{cases}$

substituindo as duas primeiras equações na terceira:

$left(-frac{m}{72} ight )^2+left(frac{m}{48} ight )^2=frac{13}{36}\\Rightarrow frac{m^2}{3^2cdot 24^2}+frac{m^2}{2^2cdot 24^2}=frac{13}{36}\\Rightarrow frac{m^2}{24^2}left(frac{1}{9}+frac{1}{4} ight )=frac{13}{36}\\Rightarrow frac{m^2}{24^2}cdotfrac{13}{36}=frac{13}{36}\\Rightarrow m^2=24^2$

como foi dito que o centro se encontra no segundo quadrante, x₀<0 => m>0, portanto m=24 e n=-36. A circunferência do problema então possui equação:

$x^2+y^2+frac{24}{36}x-frac{36}{36}y-frac{23}{36}=0\\Rightarrow x^2+frac{2}{3}x+frac{1}{9}+y^2-y+frac{1}{4}-1=0\\Rightarrow left(x+frac{1}{3} ight )^2+left(y-frac{1}{2} ight )^2=1$

Os ponto onde esta circunferênci intersecta o eixo Oy ocorre quando x=0,

$left(frac{1}{3} ight )^2+left(y-frac{1}{2} ight )^2=1\\Rightarrow left(y-frac{1}{2} ight )^2=frac{8}{9}\\Rightarrow left(y-frac{1}{2} ight )^2-left(frac{2sqrt{2}}{3} ight )^2=0\\Rightarrow left(y-frac{1}{2}+frac{2sqrt{2}}{3} ight )left(y-frac{1}{2}-frac{2sqrt{2}}{3} ight )=0$